材料力学第八章压杆的稳定性.ppt

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1、第八章压杆的稳定性§8-1压杆稳定性的概念受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式：1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料的极限应力，为强度破坏。2）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡形式，为失稳破坏。工程中存在着很多受压杆件。对于相对细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡形式而失效。1.两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F作用下将保持原有直线平衡形式。此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。可见这种直线平衡形式是稳定的。2.当压力超过某

2、一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式不稳定。这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳。压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷载，用Fcr表示。刚体平衡12345随遇平衡其它一些构件的稳定性问题§8-2细长压杆的临界力在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，若此时压杆仍处在弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似微分方程及杆端约束条件求解临界力Fcr。一、欧拉公式设两端铰支的细长压杆在临界荷载Fcr作用下，在xOw平面内

3、处于微弯状态。lxFcrw1.两端铰支的细长压杆挠曲线近似微分方程为lwxFcrxwEIw"=-M(x)x截面的弯矩为M(x)=FcrwEIw"=-FcrwEIw"+Fcrw=0令k2=FcrEIw"+k2w=0得二阶常系数线性微分方程xwxwFcrFcrM(x)由杆的已知位移边界条件确定常数x=0，w=0x=l，w=0得B=0，w=Asinkx得Asinkl=0由Asinkl=0得A=0（不可能）或sinkl=0即kl=nπ(n=0,1,2…）k2=FcrEIlxFcrw其通解为w=Asinkx+BcoskxA、B、k待定常数w"+k2w=0(n=0,1,2

4、…）Fcr=n2π2EIl2最小的临界荷载（n=1）（Euler公式）Fcr=π2EIl2(n=0,1,2…）Fcr=n2π2EIl2压杆的挠曲线方程为w=Asinxπl（半波正弦曲线）x=2l时w0=Aw=Asinkx+Bcoskxk=π/lA是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。lxFcrwOFw0F与中点挠度w0之间的关系（1）若采用近似微分方程，则F与如折线OAB所示；实际B'（2）若采用精确的挠曲线微分方程，则可得F与w0之间的关系如曲线OAB'所示；（3）实际工程压杆F与w0之间的关系如曲线OB所示。BAFcr2.不同杆端约束下压杆的临界力xFcr

5、wxwlABlwxFcrxwABwlxFcrxwABxFcrxwABwllFcrFcr2lFcrl类比法一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。Fcr=π2EI（2l）2lFcrFcrl/2l/4l/4Fcr=π2EI(0.5l)2两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。类比法0.7lFcr0.3llFcrFcr=π2EI(0.7l)2一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。类比法Euler公式的统一形式Fcr=π2EI(μl)2约束越强，μ越小，临界力

6、Fcr越大。μ——长度因数μl——相当长度一端固定一端自由一端固定一端铰支两端固定两端铰支μ=1.0μ=2.0μ=0.5μ=0.7Fcr=π2EI(μl)2公式讨论2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端），压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值；1.Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比；最小抗弯刚度平面：形心主惯性矩I为最小的纵向平面如矩形截面的Iy最小，xOz平面为最小抗弯刚度平面。3.当杆端约束情况在各个方向不同时，如图柱形铰，xOz平面内为铰支（可绕y轴自由转动），xOy平面内为固定端（不能转动）。计算临界荷载

7、应取I与μ2比值的最小值，压杆在相应的平面内失稳。轴销xyz压杆在xOz平面内失稳时：μ=1.0，I=Iy计算临界力Fcr1压杆在xOy平面内失稳时：μ=0.5，I=Iz计算临界力Fcr2临界力Fcr为两者中较小的值。Fcr=π2EI(μl)24.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据具体情况选取适当的长度系数μ值。5.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可以在安全因数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式计算其临界荷载。§8-3压杆的柔度与压杆的非弹性失稳当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线

8、形式的平衡状态时，横截面上的正应力称为