高等数学 理工科用 第２版 教学课件 作者 方晓华 - 副本10-1.ppt

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1、10.1行列式10.1.1二阶行列式与三阶行列式10.1.4克莱姆法则10.1.3行列式性质10.1.2n阶行列式第10章矩阵及其应用1.二阶行列式(1)二阶行列式引入二元线性方程组为用加减消元法求解得:10.1.1二阶行列式与三阶行列式得解为为便于记忆，引入记号：(2)二阶行列式定义:用个数组成记号左端称为二阶行列式，右端称为二阶行列式的展开式；横排称为行，竖排称为列，称为第i行第列j的行列式的元素。根据这个定义，以上二元线性方程组的解可写成：其中：记忆方法D：系数组成的行列式；：以替换D中的第一列；：以替换D中的第二列。应用举例例1用行

2、列式解线性方程组解由于方程组有解所以方程组的唯一解为:例2计算行列式值:解:(1)(1)(2)(2)2.三阶行列式定义类似地，用个数组成的记号称为三阶行列式，右端称为三阶行列式的展开式，称为行列式的元素；i表示横排,称为行;j表示竖排,称为列。对角线展开法见教材(P289)例3计算三阶行列式值(1)（2）解:(1)(2)例4解方程解：例5用行列式解线性方程组解由于方程组有解，所以方程组解为:(这种用行列式求方程组解的方法称为克莱姆法则)10.1.2n阶行列式1、引入:三阶行列式可以表示为2.余子式．代数余子式把行列式D中划去所在的行和列的所

3、有元素得到的n-1阶行列式称为的余子式记为。若在的余子式乘上，则称为的代数余子式，为，即。3.n阶行列式定义用个元素组成的称为行列式第行第列的元素；横排称为行，竖排称为列。在主对角线上的元素称为主对角元。行列式可记为:上式称为行列式D按第一行展开的展开式。（高于三阶的行列式的计算可利用展开式，降阶直到三阶或两阶行列式计算。）例4.计算解:注意：四阶及其以上的行列式是不能用对角线展开法计算的。(按第一行展开)例5.计算三角行列式解:10.1.3行列式性质性质1行列式D与它的转置行列式值相等.既性质2互换行列式的任意两行(列)，行列式仅改变符号

4、。性质3如果行列式中有两行(列)对应元素相同，此行列式的值为零。性质4将行列式某一行(列)的每个元素同乘以k，等于以数k乘该行列式。推论1如果行列式某行(列)的所有元素有公因子时,可把公因子提到行列式的外面。推论2如果行列式中有一行(列)的所有元素为零则此行列式的值为零。推论3如果行列式有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值为零。性质5如果行列式中某一行(列)的所有元素都是二项式，则此行列式可以分成两个行列式之和。性质6以数k乘行列式的某行(列)所有元素，然后加到另一行的对应元素上，则行列式的值不变。注意:性质6是简化行列式计算的主要

5、方法，目的是（1）把行列式某行（或列）的大部分元素化为零（只保留一个）。（2）把行列式化为上（下）三角行列式。约定：（1）—rank代表行，—column代表列；（2）:第i行加上第j行的k倍；：第i列加上第j列的k倍；：第i列与第j列互换。性质7行列式等于它任一行元素与它对应的代数余子式的乘积之和。如:性质8行列式任一行(列)的元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。如:例计算行列式：法1法2法3小结：行列式的计算方法：法一：利用定义降阶；法二:反复利用性质6或4，对矩阵作初等变换，化为上三角行列式；法三:反复利用性质6或4，使

6、某行（或列）只保留一个元素不为零，其他均为零，按此行（或列）展开。法四:特殊情况下，化为特殊的行列式（如两行相等或成比例）。思考:行列式与矩阵的区别是什么?(1)定理1设含有n个未知数n个方程的线性方程组为：如果上述线性方程组的系数行列式，那么它仅有唯一解：（j=1,2,…,n）10.1.4克莱姆法则其中为系数行列式；：以…,替换中的第一列；：以…,替换中的第二列；：以…,替换中的第j列。(2)应用举例例1用克莱姆法则解线性方程组解由于方程组有解方程组有解例12用克莱姆法则解线性方程组解:由于方程组有解所以方程组的唯一解为:总结:用克莱姆法

7、则解线性方程组的系数行列式D0，且解二、三元线性方程组，而解多元方程组计算量很大。本节的学习目的与要求1．了解行列式的概念，会计算行列式；2.掌握克莱姆法则。本节的重点与难点重点1．熟练掌握二阶、三阶行列式的计算；2．知道行列式的性质；3.掌握克莱姆法则。难点1．n阶行列式的概念2.克莱姆法则。