高等数学 理工科用 第２版 教学课件 作者 方晓华 - 副本11-5.ppt

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1、11.5随机变量的数字特征11.5.2方差11.5.1数学期望第11章概率与数理统计引言随机变量的分布函数完整地描述了它的分布规律。但是在实际应用中，要完全确定分布函数很难办到，而且在许多情况下，只需要了解一些能反映随机变量分布的统计特征的参数或数字，就足以简单明了地反映它的分布规律。这类能够反映随机变量分布的统计特征的参数或数字，就称为随机变量的数字特征。其中，最重要、最常用的两个数字特征就是数学期望和方差。11.5.1数学期望1、离散型随机变量的数学期望2、连续型随机变量的数学期望3、随机变量函数的数学期望

2、4、数学期望的性质1、离散型随机变量的数学期望引例：钢筋的抗拉强度（ξ）为110，120，120，125，125，125，130，130，135，140则平均抗拉强度为：（110+120+120+125+125+125+130+130+135+140）法一：=126法二：ξ110120125130135140P=126110+120+125+130+135+140定义：设ξ为一个离散型随机变量，ξ的分布列为ξx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…如果绝对收敛，则称级数为ξ的数学期望记为：E（ξ）=注：当发散

3、时，则称ξ的数学期望不存在。例如某城市一户家庭拥有自行车的辆数ξ的概率分布为：ξ01234P0.080.150.450.270.05求ξ的数学期望E（ξ）。解：E(ξ)=0P{ξ=0}+1P{ξ=1}+2P{ξ=2}+3P{ξ=3}+4P{ξ=4}=00.08+10.15+20.45+30.27+40.05=2.06例1设ξ服从参数为p的0~1分布，求E(ξ)解由ξ的分布列ξ01p1-ppE(ξ)=0P{ξ=0}+1P{ξ=1}=0(1-p)+1p=p同理可得：(1)ξ~B(n,p)，则E（ξ）=np(2)ξ~

4、π(λ),则E（ξ）=λ练习1、定义2设连续型随机变量ξ的密度函数为p(x)，若广义积分绝对收敛(即收敛)，则称该积分为连续型随机变量ξ的数学期望，2、连续型随机变量的数学期望记为：E（ξ）=注：当发散时，则称ξ的期望不存在。例3设ξ~U(a,b)，求E（ξ）。解：由p(x)=得：E（ξ）====(a+b)同理可得：(2)ξ~N(μ，σ2),则E（ξ）=μ(1)ξ~E(λ)，则E（ξ）=练习2、3、随机变量函数的数学期望(1)随机变量函数定义3设ξ为一维随机变量，f(x)为一元函数，则η=f(ξ)也是随机变量称

5、η为随机变量ξ的函数。例如：η=2ξ+1η=ξ2(2)随机变量函数的数学期望问题：如果知道E(ξ)和η=f(ξ)，如何求E[f(ξ)]定理：设ξ为随机变量，且η=f(ξ)，其中f(x)为连续函数，P{ξ=xk}=pk(k=1，2，…)如果级数绝对收敛，则η的数学期望为：1）若ξ为离散型随机变量，其分布列为E(η)=E[f(ξ)]=2）若ξ为连续型随机变量，其分布密度为p(x)，如果广义积分绝对收敛，则η的数学期望为：E(η)=E[f(ξ)]=例4设随机变量ξ的分布列为ξ-101P0.20.30.5且η=ξ2+2

6、ξ，求E(η)。解E(η)=E(ξ2+2ξ)==[(-1)2+2(-1)]0.2+(02+20)0.3+(12+21)0.5=1.3练习3、解例5设随机变量ξ的分布密度为p(x)=试求E(ξ2)E(ξ2)==2练习4、E(ξ)4、数学期望的性质1）如果C为常数，则E（C）=C；2）设ξ为随机变量，C为常数，则E（Cξ）=CE（ξ）；3）设ξ为随机变量，a、b为常数，则E（aξ+b）=aE(ξ)+b；4）设ξ、η为随机变量，则E（ξ+η）=E(ξ)+E(η)；5）设随机变量ξ、η相互独立，则E（ξη）=E(ξ)E

7、(η)。例如已知ξ~N(1，9)，η~B(100,0.1)，求E（3ξ-2），E（3ξ+4η）解E(ξ)=µ=1E(η)=np=10E（3ξ-2）=3E(ξ)-2=1E（3ξ+4η）=3E(ξ)+4E(η)=43练习5、11.5.2方差1、方差的概念2、方差的性质1、方差的概念引例1甲、乙两人进行射击比赛，击中靶心为2分，击中靶环为1分，脱靶为0分。ξ012P0.20.10.7甲η012P0.10.30.6乙E(ξ)=E(η)=1.5引例2甲乙两人同进一家医院，由同一名医生检查血压，一周内七天检查结果分别记为ξ

8、、η，且分布列为：ξη（1）尽管两人的期望值相同，但由两人的血压分布可直观看出，甲的血压稳定地保持在期望血压上，健康状况良好；而乙的血压极不稳定，极不正常，健康状况极差.（2）引例说明评估血压好坏不仅需要看血压的期望，还要看血压对于期望的稳定程度，或血压关于期望值的离散程度，这种描写随机变量离散性的参数就是方差。设ξ为随机变量，若E[ξ-E(ξ)]2存在，则称为ξ的方差，记为D(ξ)即