高等数学 理工科用 第２版 教学课件 作者 方晓华 - 副本10-3.ppt

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1、10.3矩阵的初等变换与秩10.3.1矩阵的初等变换;10.3.2矩阵的秩.第10章矩阵及其应用10.3.1矩阵的初等变换1、矩阵的初等变换2、用初等变换求逆矩阵1、矩阵的初等变换（1）矩阵的初等行变换(定义3)利用定义求矩阵的秩是很困难的。而利用矩阵的初等变换求矩阵的秩较为简单.下面定义矩阵的初等变换.第i行与第j行互换:数k乘以第i行:第i行加上第j行的k倍:（2）定理矩阵A经过初等变换为矩阵B，它们的秩不变例用初等变换求矩阵的逆矩阵.解:所以:引入:例1观察方程组克莱姆法则失效，逆矩阵不存在。原因：2*(1)+(2)=(3),方程(3)可以由(1)与(

2、2)式表示出来第3个方程式是多余的，称此方程是不独立的系数行列式-1-6+24-4-9-4=010.3.2矩阵的秩不独立的方程中的各项可以由其余的方程对应项表示:2*(1)式+(2)式=(3)式即:方程(3)的解也可以由方程(1)与(2)的解表示,称方程(3)与方程(1)与(2)的这种关系为线性相关,而方程(1)与方程(2)是相互没有关系称为线性无关。原方程组变为注意前两个未知数系数行列式：取任何值都有解，令方程组变为解之即C为任意值，方程组有无数解。分析：n元方程组中有不独立方程系数行列式等于零；反之，系数行列式不等于零方程组中没有不独立方程。思考：一般n

3、元方程组中有无不独立的方程，有几个相互独立的方程，上例启发用其系数行列式是否为零来考虑。（1）k阶子式(定义2)在矩阵中任取k行,k列，位于这些行、列交叉位置上的元素所构成的k阶行列式称为矩阵的k阶子式。(k=min(m,n))如有二阶子式总计中共4个三阶子式.1.矩阵的秩及其求法第三节矩阵的初等变换与秩目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导为了表示方程组中线性无关，独立方程的个数引入矩阵“秩”的概念定义3矩阵中的不为零的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为注意：秩定义含有两层意思①存在某个r阶子式不等于零（但并不要求每个阶子r式不

4、等于零）;②凡高于r阶的子式均等于零。例2利用定义的方法求例1方程组的增广矩阵的秩存在而所有的三阶子式全为零:记为：例3求方程组的系数矩阵的秩解：因为存在所以思考：按定义求一个矩阵的秩，其计算量较大，如果一个矩阵经过变换，变为有一个这样的矩阵，可以直接看出其不为零的K阶子式。A步骤如下:矩阵B称为行阶梯形矩阵，它的秩等于其非零行（元素不全为零）的行数。（定义4）例3求方程组的系数矩阵的秩所以例4求矩阵A的秩.解:=2结果与书中用秩的定义方法求一样.例5求矩阵A的秩：所以R(A)=R(B)=2本节的学习目的与要求1．理解矩阵秩的概念；2．掌握用初等变换求秩的方

5、法；3.会用初等变换求逆矩阵。本节的重点与难点重点会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。难点会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。