高等数学 理工科用 第２版 教学课件 作者 方晓华 - 副本5-1.ppt

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1、5.1.1引入定积分概念的实例5.1.2定积分的定义5.1.3定积分的性质5.1定积分的概念第5章定积分及其应用本节知识引入本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出一、预备知识5.1.1引入定积分概念的实例1.矩形的面积公式A矩形=长*宽2.匀速直线运动的路程S=速度*时间3.极限的概念1.求曲边梯形的面积曲边梯形是指由连续曲线和直线所组成的平面图形。显然曲边梯形的面积无法用初等几何的方法解决，但这一问题可以用极限的方法来求解。abxyo二、引入定积分概念的实例abxyoabxyo用矩形面

2、积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放根据上述分析求曲边梯形面积步骤如下：（1）分割：在区间[a,b]中插入n-1个分点把[a,b]分成n个小区间其长度为过各个分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积为abxyo（2）近似：用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积（3）求和：曲边梯形的面积A的近似值（4）取极限：当分割无限加细，即小区间的最大长度abxyo趋于

3、零时，有：2.求变速直线运动的路程分析：把整段时间分割成若干小段，每小段上近似匀速，求出各小段的路程再累加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分求得路程的精确值．设某物体作直线运动，其速度是时间间隔上的一个连续函数，且求物体在这段时间内所经过的路程。（1）分割：（3）求和（4）取极限路程的精确值求路程的步骤如下：（2）近似：在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程：各个小区间物体运动的距离为5.1.2定积分的定义定义设函数在区间上有定义，任取分点把区间分成n个小区间各个小区

4、间的长度为记取任意一点作和式如果不论对怎样分割，也不论在小区间一、定积分的定义被积函数被积表达式积分变量，记为积分上限积分下限积分和上如何取点只要当时，和式的极限存在，则称此极限为函数在区间上的定积分积分区间注意：曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值二、定积分的几何意义几何意义：5.1.3定积分的性质性质1（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质2性质3补充：不论的相对位置如何,上式总成立.性质4性质5性质6性质7性质8（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式的几何解释：性质9（对称区间上奇偶函

5、数的积分性质）设在区间上连续，则有（1）如果（2）如果为奇函数，则为偶函数，则例1解估计定积分的值。因为在区间上连续，由积分估值定理，得又因为故在区间上可积，例2解比较定积分的大小。与因为在区间[1，2]上，有由定积分性质得例3解计算因为函数是对称区间[-2，2]上的奇函数，所以有１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）小结1.将5.1.1中曲边梯形的面

6、积和变速直线运动的路程用定积分表示。练习题解答：解答原式2.将和式极限：表示成定积分.3.利用定积分的几何意义说明下列等式：4.求下列定积分解答解答因为函数在对称区间[-2.2]上为奇函数所以习题5-11.用定积分表示由曲线与直线轴所围成的曲边梯形的面积。2.利用定积分的几何意义，作图说明：3.用定积分下列各图中阴影部分的面积：4.估计下列定积分的值：5.根据定积分的性质，比较下列各组积分值的大小：习题5-1答案观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意

7、当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边

8、梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．返回本节的学习目的与要求1．理解定