2019-2020学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷.docx

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2019-2020学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线的倾斜角为　　A．B．C．D．2．（4分）圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为　　A．B．C．D．3．（4分）直线与平行，则的值等于　　A．或3B．1或3C．D．4．（4分）下列函数中，值域为，的偶函数是　　A．B．C．D．5．（4分）设、是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是　　①若，，则②若，，则③若，，则④若，，，则A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④6．（4分）直线和圆交点的个数为　　A．2个B．1个C．0个D．不确定7．（4分）函数的零点所在的一个区间　　A．B．C．D．8．（4分）如图，在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中点，则与平面所成角的大小是　　第17页（共17页） A．B．C．D．9．（4分）在空间直角坐标系中，已知，0，，，2，，，2，，，1，．若，，分别是三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积．则　　A．B．C．D．10．（4分）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）．设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则　　A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）如图，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为　　．第17页（共17页） 12．（4分）设，，，则，，的大小关系是　　．13．（4分）已知点在上，求的最小值　　．14．（4分）在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球，同时在三棱柱外有一个外接球．若，，，则球的表面积为　　三、解答题（共4小题，44分，请在答题卡上写清必要的解题过程）15．已知圆经过，两点，并且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）求圆上的点到直线的最小距离．16．如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，．求证：（1）平面；（2）．17．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑biēnào．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室（图，是边长为2的正方形．第17页（共17页） （1）若是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；（2）若，在上，证明：，并回答四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（3）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离．18．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．（Ⅰ）若，求点坐标；（Ⅱ）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；（Ⅲ）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．第17页（共17页） 2019-2020学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线的倾斜角为　　A．B．C．D．【解答】解：设直线的倾斜角为．直线化为．．，，．故选：．2．（4分）圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为　　A．B．C．D．【解答】解：如图，圆锥的轴截面为正三角形，边长为2，故底面半径，母线长，，，圆锥表面积为，故选：．第17页（共17页） 3．（4分）直线与平行，则的值等于　　A．或3B．1或3C．D．【解答】解：因为两条直线平行，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：，故选：．4．（4分）下列函数中，值域为，的偶函数是　　A．B．C．D．【解答】解：为偶函数，值域为，；为对数函数，不为偶函数，且值域为；为奇函数，值域为；为偶函数，值域为，．故选：．5．（4分）设、是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是　　①若，，则②若，，则③若，，则④若，，，则A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：由、是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，知：，，，故①正确；，，或与相交，故②不正确；，，与相交、平行或异面，故③不正确；，，第17页（共17页） ，，，故④正确．故选：．6．（4分）直线和圆交点的个数为　　A．2个B．1个C．0个D．不确定【解答】解：直线转化为：，则：直线经过定点，由于定点在圆的内部．故经过定点的直线与圆有两个交点．故选：．7．（4分）函数的零点所在的一个区间　　A．B．C．D．【解答】解：函数是增函数，，，可得．由零点判定定理可知：函数的零点所在的一个区间．故选：．8．（4分）如图，在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中点，则与平面所成角的大小是　　第17页（共17页） A．B．C．D．【解答】解：取的中点，连接，，则底面，为与平面所成的角．设三棱柱的棱长为1，则，，，．故选：．9．（4分）在空间直角坐标系中，已知，0，，，2，，，2，，，1，．若，，分别是三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积．则　　A．B．C．D．【解答】解：，0，，，2，，，2，，，1，，则各个面上的射影分别为，，，，第17页（共17页） 在坐标平面上的正投影，0，，，2，，，2，，，1，，；在坐标平面上的正投影，0，，，2，，，2，，，1，，；在坐标平面上的正投影，0，，，0，，，0，，，0，，，则且，故选：．10．（4分）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）．设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则　　A．B．C．D．【解答】解：由题意可知在底面的射影为正方形的中心．过作，交于，过底面的中心作交于，连接，取中点，连接，，，则，则，，．显然，，，均为锐角．，，，，又，，，．第17页（共17页） 故选：．二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）如图，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为　1　．【解答】解：三棱锥的主视图与左视图都是三角形，底面的射影都是正方体的棱长，到底边的距离（三角形的高）都是正方体的棱长，所以，三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为：1．故答案为：1．12．（4分）设，，，则，，的大小关系是　　．【解答】解：函数为减函数；故，函数在上为增函数；故，故，故答案为：第17页（共17页） 13．（4分）已知点在上，求的最小值　　．【解答】解：设，则的几何意义为圆上的点与原点的斜率，则由图象可知当直线与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时，则圆心到直线的距离，即，解得，故的最小值．故答案是：．14．（4分）在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球，同时在三棱柱外有一个外接球．若，，，则球的表面积为　　【解答】解：由题意知内切球的半径为与底面三角形的内切圆的半径相等可得，而三角形为直角三角形，，，，所以，设三角形内切圆的半径为，由面积相等可得：，所以，所以，由题意可知三棱柱的高为，将该三棱柱放在长方体中，设三棱柱的外接球的半径为则，所以外接球的表面积，故答案为：．第17页（共17页） 三、解答题（共4小题，44分，请在答题卡上写清必要的解题过程）15．已知圆经过，两点，并且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）求圆上的点到直线的最小距离．【解答】解：（1），中点为，中垂线方程为，联立．解得圆心坐标为，最后解出圆的标准方程为．（2）圆的圆心为，半径．圆心到直线的距离．则圆上的点到直线的最小距离为．16．如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，．求证：（1）平面；（2）．第17页（共17页） 【解答】证明：（1）如图所示，由据题意得，为的中点，为的中点，所以；又因为平面，平面，所以平面；（2）【方法一】因为棱柱是直三棱柱，所以平面，因为平面，所以；又因为，平面，平面，，所以平面；第17页（共17页） 又因为平面，所以；因为，所以矩形是正方形，所以平面；又因为平面，所以．【方法二】根据题意，，平面，以为原点建立空间直角坐标系，为轴，为轴，为轴，如图所示；设，，则，0，，，，，，，，，0，；，，，，，，，，即．第17页（共17页） 17．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑biēnào．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室（图，是边长为2的正方形．（1）若是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；（2）若，在上，证明：，并回答四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（3）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离．【解答】解：（1）解：是等腰三角形，由，得，又，点到直线的距离为1，在图2的网格中画出堑堵的三视图，如图所示．（2）证明：如图2所示，由平面平面，且平面平面，平面，，平面，又平面，；四面体是鳖臑，第17页（共17页） 中，是直角，△中，是直角，△中，是直角，△中，是直角；（3）当阳马的体积最大时，，且，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，0，，，，，，0，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，点到平面的距离：．18．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线第17页（共17页） 、，切点为、．（Ⅰ）若，求点坐标；（Ⅱ）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；（Ⅲ）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由条件可知，设，则解得或，所以或（4分）（Ⅱ）由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为，则，解得或；所以直线的方程为或（8分）设，过，，三点的圆即以为直径的圆，其方程为与相减可得即由，可得经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点．第17页（共17页）