专题9.14 例谈解题切入点的寻找-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版）

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1、例谈解题切入点的寻找【专题综述】学习数学离不开解题，求解数学题的关键，在于准确快速地找到解题的切入点，切入点找对了，可以顺利求解，那么，如何寻找解题的切入点呢？一是应该对题目的条件、结论、图形及隐含条件进行仔细全面的分析；二是要从不同的角度去分析、思考问题，千万不能死板，要灵活，一个角度不行，就换一个角度试试．一般说来，找寻解题切入点的方法有：从题设条件出发找寻解题切入点，从题目结论出发找寻解题切人点，从图形特点出发找寻解题切入点，从定义、定理、公式、辅助线出发找寻解题切入点，从化归与转化的思想出发找寻解题切入点，利用数形结合思想找寻解题切入点．下面以一题为例，谈一谈解题切入点找寻的具体做法．

2、【方法解读】例题M是等边三角形ABC的外接圆上的任一点，求证：MA＝MB＋MC．[来源:学.科.网]一、利用截长法，寻找切入点证明一条线段等于两条线段之和通常所使用的方法之一是截长法．如图1，首先在AM上截取AN＝MB，连结NC，这就是解本题的一个切入点，因此只须证MC＝MN即可．从已知条件可知：∠NAC＝∠MBC，∠AC＝BC，可证△ANC≌△BMC，从而有NC＝MC．又因为∠NMC＝∠ABC＝60°，故△MNC为等边三角形，MN＝MC，所以有MA＝MN＋AN＝MC＋MB．二、利用补短法，寻找切入点证明一条线段等于两条线段之和通常所使用的方法是除了截长法之外，还有补短法．如图2，延长MC到点

3、E，使CE＝MB，连结AE，这就是解本题的另一个切入点．在△ABM和△ACE中，已知∠ABM＝∠ACE（圆内接四边形的一个外角等于其内对角），AB＝AC、BM＝CE，可证△ABM≌△ACE，有MA＝EA．又因为∠AME＝∠ABC＝60°，可证△AME为等边三角形，[来源:学+科+网]故有MA＝ME＝MC＋EC，即MA＝MC＋MB．[来源:学#科#网Z#X#X#K]当然，也可以延长CM到点D，使CD＝MA，只要证BM＝DM即可．三、采用相似形，寻找切入点因为要证MA＝MC＋MB，如图3，就须证MA、MB、MC所在的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出比例式，然后相加求解，这又是解本题的一个

4、切入点．设，AB＝BC＝CA＝a．BD＝b．CD＝c，AD＝d．∵∠AMB＝∠BCA＝∠ABD＝60°，∠BAD∠LMAB，[来源:Z*xx*k.Com]∴△ADB∽△ABM，得，即MB＝，同理，有△ADC∽△ACM，故有MA＝MC＋MB．四、利用余弦定理，寻找切入点因为AB＝BC＝CA，∠AMC＝∠AMB＝60°，所求线段和已知线段都包含在这两个三角形之中，所以采用余弦定理来寻找本题的切入点．如图4，设，4B＝BC＝CA＝a，MB＝y1，MC＝y2，在△AMC中，由余弦定理有：在△ABM中，同样有：　　[来源:学

5、科

6、网Z

7、X

8、X

9、K]　　　　由上题利用余弦定理可得两个式子，[来源:学§科§

10、网Z§X§X§K]想到构造一元二次方程．因此，也可以利用韦达定理去解决本题．五、利用正弦定理，寻找切入点因为所求涉及到的三条线段都包含在四边形之中，并且都有是同一圆的三条弦，所以利用正弦定理来证明，这又是解本题的一个切入点．如图4，设△ABC的外接圆的半径为R，∠BAM＝∠1，∠MAC＝∠2，MB＝m，MC＝n，MA＝p．由正弦定理有：[来源:学科网]即MA＝MC＋MB．六、利用面积法，寻找切入点如图5，设AB＝BC＝CA＝a，∠MAC＝∠1，∠ADB＝∠2，则∠CBM＝∠1，∠2＝60°＋∠1．根据面积公式有：七、构造含30度角的直角三角形，寻找切入点因为∠CNA＝∠BNA＝∠ABC＝60°

11、，所以过点A作AD⊥BM于点D，AE⊥CM于点E，构造了两个含30度角的直角三角形，这又是解本题的一个切入点．如图6，有八、运用托列密定理，寻找切入点如图3，根据托列密定理有：BC×MA＝AC×MB＋AB×MC．而BC＝AC＝AB，∴MA＝MC＋MB．以上通过对一个例题的各种分析，简要介绍了解题切入点的寻找方法和出发点．可以看出，同一个问题从不同的角度出发去分析，可以找到不同的切入点，得到不同的解法，其中有繁也有简．因此，同学们在学习数学时，一定要从不同的角度分析和思考问题，力求正确迅速地找准最佳切入点，使问题得到快速正确的解决．【强化训练】1．（2017广西贵港市）如图，A，B，C，D是⊙O

12、上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（　　）A．45°　　　　　　B．60°　　　　　　C．75°　　　　　　D．85°2.（2017山东省烟台市）如图，▱ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（　　）A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．[来源:学,科,网Z,X,X,K]3．（2017山东省青岛市）如