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1、例谈解题切入点的寻找【专题综述】学习数学离不开解题，求解数学题的关键，在于准确快速地找到解题的切入点，切入点找对了，可以顺利求解，那么，如何寻找解，题的切入点呢？一是应该对题目的条件、结论、图形及隐含条件进行仔细全面的分析；二是要从不同的角度去分析、思考问题，千万不能死板，要灵活，一个角度不行，就换一个角度试试.一般说来，找寻解题切入点的方法有：从题设条件出•发找寻解题切入点，从题目结论出发找寻解题切人点，从图形特点出发找寻解题切入点，从定义、定理、公式、辅助线出发找寻解题切入点，从化归与转化的思想出发找寻解题切入点，利用数形结合思想找寻解题切入点.下面以一题为例，谈
2、一谈解题切入点找寻的具体做法.【方法解读】例题M是等边三角形ABC的外接圆BC上的■任一点，求证：MA=MB+MC.一、利用截长法，寻找切入点证明一条线段等于两条线段之和通常所使用的方法之一是截长法.如图1,首先在AM上截収AN=MB,连结NC,这就是解本题的一个切入点，因此只须证MC=MN即可.从已知条件可知：ZNAC=ZMBC,ZA.C=BC,可证△ANC9/XBMC,从而有NC=MC.又因为ZNMC=ZABC=60°,故AMNC为等边三角形，MN=MC,所以有MA=MN+AN=MC+MB・二、利用补短法，寻找切入点证明一条线段等于两条线段Z和通常所使用的方法是除
3、了截长法Z外，还有补短法.如图2,延长MC到点E,使CE=MB,连结AE,这就是解本题的另一个切入点.在AABM和ZXACE中，己知ZABM=ZACE（圆内接四边形的一个外角等于其内对角）,AB=AC、BM=CE,可证△ABM^AACE,有MA=EA.又因为ZAME=ZABC=60°,可证△AME为等边三角形，故有MA=ME=MC+EC,即MA=MC+MB.当然，也可以延长CM到点D,使CD=MA,只要证BM=DM即可.三、采用相似形，寻找切入点因为要证MA=MC+MB,如图3,就须证MA、MB、MC所在的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出比例式，然后相加求解
4、，这又是解本题的一个切入点.设，AB=BC=CA=d.BD=b.CD=c,AD=d.•・・ZAMB=ZBCA=ZABD=60°,ZBADZLMAB,AAADB^AABM,zrlMBa口门.…ah得——=一，即MB=一，bdd同理•，有厶ADC^AACM,MCaMAa*■c~d'a一d'即MC=乎，胚4=斗，aaMB+MC二学+竽aaa/,a2=+c)=—,故有MA=MC+MB.四、利用余弦定理，寻找切入点因为AB=BC=CA,ZAMC=ZAMB=60°,所求线段和己知线段都包含在这两个三角形之中.，所以采用余弦定理来寻找本题的切入点.如图4,设，4B=BC=CA=a
5、,MB-=yi，MC=y2，在厶AMC屮，由余弦定理，有：a二MA?+y-2AMxy2xcos乙.4MC=MA2+y；-MAxy2.①在ZABM中，同样有：a2=MA2+-2M/1xy,xcos乙AMB=MA2+y；-MAxyr②②-①有y,2-y22-MAy+MAy2=0,即（y〔-?2）（71+y?）=-）‘2），•••（n+y2）二Mi,即MA=MC+MB.*rti上题利用余弦定理可得.两个式子，M.42+胃~MAxy（-it=0,M.42+y；-MAxv2-a-0,想到构造一元二次方程.因此，也可以利用韦达定理去解决本题.五、利用正弦定理，寻找切入点因为
6、所求涉及到的三条线•段.都包含在四边形之中，并且都有是同一圆的三条弦，所以利用正弦定理來证明,这又是解本题的一个切入点.如图4,设ZSABC的外接圆的半径为R,ZBAM=Z1,ZMAC=Z2,MB=m,MC=n,MA=p.由正弦定理有：ni=2/?sin乙1,n=2/^sinZ.2,p=2Rsin（60°+乙1）・/.rn+n=2/?（sin乙1+sin乙2）=4RainZJ+乙2•・•乙1+乙2二60°,/.sin山：◎=sin30°=斗，乙1-乙2COST—Z1-(60°-乙1).=COS=cos(30°-Z1)=sin(60。+Al)./.in+n=27?sin
7、(60°+乙1)=p,即MA=MC+MB.六、利用面积法，寻找切入点如图5,设AB=BC=CA=d,ZMAC=Z1,ZADB=Z2,则ZCBM=Z1,Z2=60°+Z1.根据而积公式有：图5yxaxMBxsin(60°+Z.1),"xaxMCxsinZ^ACM一丄~2MCxsin(180°-乙ABM)MCxsin(60°+Z1),而Spq边形仙MCMAxsin乙21=Txax二斗xaxMAxsin(60°+Z.1),••S西边形MMC二，•••MA二MC+MB.七、构造含30度角的直角三角形，寻找切入点因为ZCNA=ZBNA=ZABC=60°,所以•
