专题9.10 转化构图巧解题-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、转化构图巧解题【专题综述】转化构图的方法是：根据题设的结构特征和目标特点，通过添加适当的辅助线，构造出恰当的新图形，使之成为连接条件和结论的纽带．运用这种方法有时可取得出奇制胜的效果，下面举一例说明．【方法解读】题目如图1，在矩形ABCD中，设AB＝a．AD＝2a，E是BC边上的一点，且∠CDE＝15°．求证：AE＝2a．[来源:Z.xx.k.Com]分析本题是一道具有较大难度的题目，难在题设15°不易发挥它的应有功效，实际它正是结论AE＝2a成立的关键，为此要对15°的角进行转化，但同时要兼顾AD＝2AB．[来源:学科网]观

2、察可知，在本题已知的矩形中，不难由∠CDE＝15°，得∠ADE＝75°．[来源:学_科_网Z_X_X_K]欲证AE＝2a，即证∠AED＝75°，也即证∠DAE＝30°．在AE＝2a、∠AED＝75°、∠DAE＝30°三个中，其中一个成立，则另两个也成立．若单独证明其中一个有困难，不如把它们看成一个整体，另构造一个顶角是30°，且腰长为2a的等腰三角形，并使它和欲证明的等腰△ADE密切相连，这样既容易产生新的等边2a、新的等角15°、75°，又极易发挥30°角的作用，从而使问题迎刃而解．简证一如图2，以D为圆心，AD为半径画弧，

3、交BC延长线于点F，即DF＝AD．∵CD＝a，DF＝2a，∴∠DFE＝30°，∴∠FDE＝∠CDF＋∠CDE＝75°，∴∠FED＝75°，∴△FDE是等腰三角形．[来源:学,科,网Z,X,X,K]∵AD∥EF，AD＝EF，∴四边形ADFE是菱形，∴AE＝DF＝2a．简证二如图3，以D为顶点，DA为一腰，在另一侧作顶角为30°的等腰△DAF，过点F作FG⊥AD于点G．[来源:学_科_网]∴AF＝ED．∴四边形AFDE是平行四边形，∴AE＝FD＝2a．简证三如图4，以D为顶点，以AD为一腰，作顶角为30°的等腰△ADF，作FG⊥A

4、D于点G，连结EF．∵∠DAF＝30°，AF＝2a，∴FG＝a，∴DC＝FG．∵∠FDG＝∠DEC＝75°，[来源:学科网]∠FGD＝∠DCE．∴△FGD≌△DCE，∴DE＝DF．∵∠ADE＝∠ADF＝75°．∴DA垂直平分EF，∴AE＝AF＝2a．注四边形AEDF是筝形．简证四如图5，以⊙D为顶点，在矩形ABCD内作一射线与AD的夹角为30°，并与BC相交于点F，作FG⊥AD于点G．∵∠ADF＝30°，FG－CD＝a，∴DF＝2a．∴DF＝AD．∴△DAF是等腰三角形，[来源:学科网]∴∠ADF＝75°．∵∠ADE＝75°．

5、∴梯形AFED是等腰梯形，∴AE＝DF＝2a．【强化训练】1.（2017四川省达州市）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是．【答案】1＜m＜4．【解析】试题分析：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB=5，在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，故答案为：1＜m＜4．考点：1．全等三角

6、形的判定与性质；2．三角形三边关系．学3科*网2.（2017天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）A．BC　　　　　　B．CE　　　　　　C．AD　　　　　　D．AC【答案】B．【解析】考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．等腰三角形的性质；3．最值问题．3.（2017四川省雅安市）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（　　）A．　　　　B．3　　　　C．　　　　D

7、．4【答案】A．【解析】[来源:Z§xx§k.Com]考点：1．勾股定理；2．含30度角的直角三角形；3．解直角三角形．[来源:学科网ZXXK]4.（2017四川省乐山市）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB．CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（　　）A．2米　　　　　　B．2.5米　　　　　　C．2.4米　　　　　　D．2.1米【答案】B．【

8、解析】考点：垂径定理的应用．5.（2017北京市）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（