专题6.4 依据不同条件巧构辅助圆-备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、【备战2018年中考数学一轮微专题突破】专题04依据不同条件巧构辅助圆【专题综述】圆是极其重要的图形,它不仅能反映诸多角的关系,还能建立很多线段间的关系，根据题目中的已知条件，巧妙地构造辅助圆，以使解题取得事半功倍之效。【方法解读】一、当题目中出现一个端点引出三条相等线段时，可以根据圆的定义来构造圆．例1：如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为()A.B.C.3D.2故选B.【解读】本题也可以根据梯形和直角三角形的知识来解决，但是计算量比较大，如果根据题目中的条件“AB＝AC＝AD”来构造圆，就能避繁就简．【举一反三】在△ABC中，BA＝BC，∠

2、BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点．将线段PA绕点P顺时针旋转2α，得到线段PQ．点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D．猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明．【答案】90－α[来源:Zxxk.Com]【解析】解：∠CDB＝90－α证明：因为PA＝PQ＝PC，所以以P为圆心，PA长为半径画圆，则∠ACQ＝∠APQ＝α，所以∠D＝90－α．[来源:学科网]二、当题目中出现判断直角三角形的个数的时候，可以根据“直径所对的圆周角是直角”这个性质来构造圆，然后转化为判断直线与圆的位置关系．例2：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为

3、(11，1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，则满足条件的点C有_______个．解：如图，因为半径为5，圆心到点C所在直线距离为4，可见直线与圆是相交的，故点C有4个．【解读】根据直径所对的圆周角是直角即可判断出满足条件的点的个数.【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，点A（－4，0），B(2，0)．若直线l经过点E(4，0)，M为直线l上的动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．【答案】y＝x－3，y＝－x＋3．【解析】以A，B为直角顶点的直角三角形AMB都只有一个，所以，以M为直角顶点的直角三角形只能有一个．如图4

4、，以AB为直径作⊙F，圆心为F，则直线l与⊙F相切，这样的切线有2条．解：连结FM．∵A（－4，0），B(2，0)，∴F（－1，0），⊙F半径FM＝FB＝3．∵FE＝5，则在Rt△MEF中，ME＝4．∵OE＝4＝ME，∴OC＝3，即C(0，3)，∴直线l的解析式为y＝x－3．同理，可以求得另一条切线的解析式为y＝－x＋3．学2科&网三、当题目中出现比较同一条线段所对张角大小的时候，可以根据“同弧所对的圆周角相等”这个性质，过这条线段的两端点和任一张角的顶点作圆．例3：在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，如图，当甲带球冲到A点时，乙跟随冲到B点，此时甲是自己直接射门好，

5、还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？（射门角度越大越好，射门角度：从射门点向球门最左端和最右端分别连线，两条连线的夹角．）【解读】根据同弧所对的圆周角相等这个性质即可进行判断.【举一反三】如图，二次函数图像经过点A（－1，0），B(4，0)，C(0，－2)．若M（x，y）是抛物线上的一个动点（不与A，B重合），当∠AMB≤45°时，请直接写出点M横坐标的取值范围．【答案】x≤－2，或x≥5．【解析】[来源:学科网]由两点间距离公式，可得．解得x＝－2，x＝5，x＝－1（舍），x＝（舍）4．当∠AMB≤45°时，x≤－2，或x≥5．【强化训练】1．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，分别

6、以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【来源】2016届江苏省无锡市硕放中学九年级上学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】C．【解析】故选C．考点：轴对称-最短路线问题．2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．【来源】2016届广东省深圳桂园中学等校联考中考二模考试数学试卷（带解析）【答案】2﹣2【解析】试题分析：连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再

7、根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2，从而得到CE的最小值为2-2．考点：圆的综合题3．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是．【来源】2015届江苏省无锡市玉祁初级中学九年级上学