专题9.6 例谈数形结合在初中数学解题中的应用-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版）

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1、例谈数形结合在初中数学解题中的应用【专题综述】数学家华罗庚说过:“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形少数时难入微.”初中数学思想方法中的数形结合思想是一种很重要的方法，利用这种方法，可以实现代数问题与几何问题的相互转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。本文举例说明运用数形结合思想解决数学问题可以达到事半功倍的效果。【方法解读】一以“数”解“形”例1如图，过正方形的顶点，任作一直线与、的延长线分别交于、。求证:。证明设正方形的边长为，连。因为，所以有，即。从而、可视为关于的一元二

2、次方程的两个实数根。所以该方程的判别式，得，即。本例是“形”的问题，但直接从“形”入手较难解决，若将“形”转化为“数”，则结论变为。则可联想起一元二次方程根的判别式，从而把它转化为“数”的问题来解决。例2如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则=。解设，则、是方程的两根，。又。此题将反比例函数图象与直线相结合，利用直线解析式，先算出然后联立直线与双曲线的解析式，得到关于的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出的值。用代数的知识解决几何问题，体现了数形结合的思想。一、以“形”解

3、“数”例3不等式的解集是。解从数轴上看，-2到3的距离是5，所以不能在-2和3之间(包括-2和3),只能在-2的左侧或3的右侧，不等式才能成立，故原不等式的解集是>3或<-2。[来源:Z&xx&k.Com]例4已知:>0,>0，且，求的最小值。解如图，作线段垂直于，使，过作[来源:学科网ZXXK]垂直于，=1，由勾股定理可得:，原题也就是求的最小值了。当在线段上时，有最小值，就是线段的长度。过点作的垂线，与线段的延长线交于点。在直角三角形中，，，于是用勾股定理就很容易求得斜边，即的最小值为5。点评此

4、题由式子联想到两点之间直线最短以及勾股定理，构造几何图形，问题就迎刃而解了。例5在实数范围内，方程有()个解。分析此题如果去分母就是高_次方程，而学生已有的知识水平没办法解高次方程。借助右图，反比例函数与二次函数的图[来源:学科网]形的交点个数就是这个方程解的个数，借助图形就显得非常简单、直观。“数形结合”在解题中可使复杂问题简单化，有利于开阔学生的数学思维方式;有利于提高学生在数学问题中建立模型的能力;有利于增强学生探求知识的兴趣，感知数学中的美。【强化训练】1.（2017四川省自贡市）一次函数和

5、反比例函数（）的图象如图所示，若，则x的取值范围是（　　）A．﹣2＜x＜0或x＞1　　　B．﹣2＜x＜1　　C．x＜﹣2或x＞1　D．x＜﹣2或0＜x＜12.（2017内蒙古包头市）已知一次函数，二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为与，则下列关系正确的是（　　）A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．3.（2017湖北省咸宁市）如图，直线y=mx+n与抛物线交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式的解集是．[来源:Zxxk.Com]4.（2017山东省菏

6、泽市）如图，函数y1=﹣2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（　　）A．x＞2　　　　　　B．x＜2　　　　　　C．x＞﹣1　　　　　　D．x＜﹣15.（2017山东省聊城市）端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）A．乙队比甲队提前0.25min到达终点B．当乙队划行110m时，此时落后甲队15mC．0.5min后，

7、乙队比甲队每分钟快40mD．自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到255m/min6.（2017山东省菏泽市）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）[来源:Z§xx§k.Com]A．（0，）　　　　　　B．（0，）　　　　　　C．（0，2）　　　　　　D．（0，）7.（2017湖北省十堰市）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=，

8、则BC的长为．8.（2017四川省广元市）已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为．9.（2017浙江省嘉兴市）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．[来源:学科网ZXXK]10.（2017四川省广元市）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求一次函数的解析式