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《陈翠-高等数学（经管类专业适用）第3章习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第3章积分及其应用练习3.1.11.求下列函数的一个原函数：(1)y=—r;(2)y=ex4-2；(3)y=x4.己知llh线y=F（x）在其上任一点（%,F（x））处的切线斜率为+1）心=2仮+x+C,由导数的几何意义知F（x）是此曲线族中一条，由点（1,5）,确定C=2,所以所求ill］线F（x）-2y/x+x+2.练习3.1.21.利用总接积分法求下列不定积分：-l.x【解】(1)——；(2)ex+2x；(3)y=-x(1)j(10A+3sinx-(2jVx(x2-5)dx:(3)-x.X32.求下列函数的全体原函数：(1)y=Vx+x3；(2)y=2；(3)y=sinx+
2、^2.2-1【解】(1)—兀彳+―F+c；(2)2x+C；(3)y=-cosx+e2x+C.34-3.求下列不定积分：(1)j[xx2dx；(2)J3Aexdx.52Z【解】(1)jyfxx2dx=jx2dx=yX2+C;3xexdx=(3e)_3V_1+ln34-C.5）的曲线方程.%2+7x4-12jax.x+3【解】（1）
3、(10'+3sinx-=3cosx——x2+C；lnlO3(2)jVx(x2-5)dx=j(%2-5x^)dx=+C；(3)'仪二J(兀+4)心二g/+4兀+c.2.利用凑微分法求下列不定积分:r20(1)j(3x+2)dx:【解](1)J(3jv+
4、2)2^Zx=tj(3%+2)2°d(3x)=tj(3x+2)2°d(3x+2)ex=[d(ex+2)=ln(^v+2)+C；Z+2Jb+2(3)-j=sin4xdx=2
5、sin4xd4x=-2cos>/x+C.3.利用分部积分法求下列不定积分:(1)xsinxck；(2)xexdx•【解】(1)xsinxdx=-jxdcosx=-(xcosx-jcosxdx)=-xcosx+sinx+C；(2)Jxe'dx=jxdex=xex-jexdx4.(略)练习3.1.31.指出下列微分方程的阶数:(1)%(/)2-2xy+x=0:=1+/；dx⑶)，7©+可=漳+凡dxdf(4)y"+
6、2x=3y"+sinx.(4)二阶.【解】(1)—•阶；(2)—•阶；(3)三阶;2•验证下列函数是否为所给方程的解:(1)xyf=2x.y=5x2；(2)y"+(y")2+1=0,y=lncos(兀_a)+b・【解】(1)左边=xy=x(5x2Y=]0x2^2x=右边，所以y=5x2不是方程的解;(2)或y=lncos(x-a)+b,贝~,y"=，则sin2(x-tz)COS(x-d)COS(x-6f)左边二y"+(#)2+1=——J——+…广「+1cos^(x-a)cos(x-a)•22—1+sin"%—a)+cos^(x—a).、丄,z、『“、rrTr#cos(x-a)=0
7、=右边，所以y=lncos(兀一d)+b为万程的解.3.求卜•列微分方程的通解:(1)y'=—；X(2)©=l+y-2x-2xy.dx【解】(1)y'=—,—dy=—dx,—dy-f—tZr,lny=Inx+InC,y=Cx；xyxJyJx-^-=(l-2x)dxi+y(2)—=1+y—2x—2xy,—=(1+y)—2x(1+y),—=(1+y)(l—2x),clxdxdx,J=J(l_2工)cZx,ln(l+y)=%-%2+lnC,即1+y=c/Y，故y=Cex^x-1.2.求下列微分方程通解及满足初始条件的特解:x=4=0；(2)y'-2y=ex-x.y=5x=0_4【解】
8、(1)—=-—.ydy=-xtZr,f=-fy2=一丄x2+—C,所以y」J222y2=-X2+C,即兀2+)；2=c,因为y*4=0,则C=16，即特解为:x2+y2=16-1°(2)先求相应的齐次方程通解卩―2y=0-dy=2^Iny=2x+InC,y=Ce2x,y令原方程的一个特解为y=C(x)e2x,代入原方程得：Cx)e2x=ex-xyC‘(x)—ex—xe",6?(兀)=—e'd—xeH—£~丫+C,所以原Jj程的通解为：24y=CMe2x=-ex+-X+i+Ce2x,将yv=0=-代入，得C=2,故原方程的特解为2y=—£“+丄兀+丄+2戶.•245.(略)习题3
9、・11.求下列不定积分:(1)(2)(3)axexdx.【解】（1）J（XHyfxX+*）心非+环卜(2)（1叫12x+x=j(-^-2[x+x2)dx-x^+C；5(3)axexdx2.求下列不定积分:(1)严；(3)
10、>cose血(4)gcos丄如(5)(2)xdxdx21f_1r^/(x2+J)_^a/x2+12+12J兀2+1(3)jexcosexdx-Jcosexdex-sinex+C；(4)f-7cos—dx=—
11、*cos-cl—=—sin—C；J对XJXXX(5)
