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《陈翠-高等数学（经管类专业适用）教案3.2.4教学设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课题324广义积分教学目标知识目标1）了解无穷限的广义积分的意义，会判断其中较简单的无穷限广义积分的敛散性；2）会用数学软件求一般难度的函数的不定积分、定积分和广义积分。能力目标通过教学活动训练学生分析问题和归纳总结能力，提高实际应变能力，发展学生思维，培养学生综合解决问题的能力。教学重点无穷限广义积分教学难点无穷限广义积分的求法教法学法归纳总结性质的讲授法、练习法，讨论法教学反思广义积分敛散性的判断综合了定积分和极限两种计算进行的，在计算上对于学生来说，存在着相当的困难，如何引导学生理解概念，进而解决问题，以期达到发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。教学过程设计意图
2、一、知识回顾复习极限的概念和计算方法二、合作探究1.学习新知问题1：/（X）=X2在［1,+8）区间上与兀轴围成的面积显然是一个无法封口的区域，但随着区域向兀轴正方向无限延伸，所围成的面积是否有个极限状态？设函数/（兀）在区间［a,+oo）上连续，取如果极限limff（x）dxb—Jq存在，则称此极限为函数/G）在无穷区间［d,+oo）无穷限广义积分，记作厂/⑴如即r加必锂彷（诫•这时也称广义积分收敛.如果上述极限不存在，函数/（X）在无穷区间［d,+oo）上的广义积分^f（x）dx就没有意义，此时称广义积分厂/（x）dx发散.引导学生有目的地复习，为后面的学习做准备从具体
3、例子引出无穷限的广义积分概念，有效地帮助学生掌握和理解公式。2•探究例题教学过程设计意图【例1】计算广义积分^°e~xdx.J。e~xdx—-e~x于是，limfe~xdx-lim仆一e~b)=1-0=1,〃T+8f+8『h因此，exclx=lime^xdx=1.JobT+coJ()【例2］判断广义积分『気兀心的敛散性.解对任意b>0,•b
4、sinx^Zr=-cosxo；=-cosZ?+(cosO)=1-cosZ?因为lim(1-cosZ?)不存在，故由定义知无穷积分Isinxdx发散.J()由以上例子可以看出，广义积分的计算其实是分两步进行的：第一步是先求出相应有限区间上的
5、定积分；第二步是通过取极限将区间回归无限.有时为了方便，也将取极限直接写成定积分上卞限的形式.如再把公式运用到具体例子，这个部分的练习目的是熟悉公式和理解广义积分的概念，其次从实例感觉收敛和发散的异同点，引导学生归纳类型。【例3】讨论广义积分广+加(°>0)的敛散性.解当p=时，广5丄dx=lim[丄力;JaXp1+8儿X=lim[Inx]1^=+g.如图3-7所示，当b趋于+8时，阴影部分面积趋于+°°图3-7把问题回到最重要也是最一般的题型，让学生充分理解方法的基础上,与学生共同探究、归纳总结，突出重当严1时，广;評2〔古宀庁当心时，广界*［七宀］宀需散.因此，当P〉1
6、时，此广义积分收敛，其值为；当"51时，此广义积分发教学过程设计意图从图3・7可以看出，p=l时函数所围成的图形面积较p=2所围成的图形面积要大.类似地，连续函数/(兀)在区间(-汽切上和在区间(―，+OO)上的广义积分可定义为£丿(力力二li巴么.匚/(如锂仃(如塑打g•三、软件求解数学软件MATLAB在命令窗口中提供了求定积分和广义积分的命令函数，其命令格式与计算不定积分的基本相同.其具体格式如下：int(函数f,下限a,上限b)对函数f关于默认的变量求［a,b］上的定积分int(函数f,变量名x,下限a,上限b)对函数f关于指定的变量x求［a,b］上的定积分说明：对于无
7、穷限的广义积分，用“+inf”与“-inf”分别表示“+8”与“-8”■【例4】计算定积分力.J()1+Vx解>>cle&r»symsxy;»y=l/(l+sqrt(x))y=l/(l+xA(l/2))»int(y,x,0,4)ans=・2*log(3)+4【例5】计算广义积分jz1.dx,解〉>clear»symsxy;通过基本的逻辑推理，附带介绍其他两种类型的无穷限广义积分。基于积分的难度较大，介绍用数学软件来解决，降低计算难度，提高学习效果。通过学与做的课堂教学过程设计意图»y=l/(l+xA2);活动，引导学生形»int(y,O,+inf)成“自主学习”与ans=“合
8、作学习”等良l/2*pi好的学习方式，有四、课堂练习助于学生认识数学1.求下列广义积分的科学价值、应用(1)广厶ic；(2)J；^=dx；(3)「xe~xdx.价值和文化价值，体验成功。2.利用数学软件MATLAB计算以下积分：整理总结，理清思路，形成牢固的知(1)J—2dx；(2)「(兀一2)J(4—兀~dx；(3)JX€xdx识链和知识体系五、课堂小结1、在理解概念的基础，会求简单结构的广义积分；按不同层次学生的需求布置作业，挖2、掌握利用数学软件MATLAB求积分的命令函数。掘和发展学生的数六、布
