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《陈翠-高等数学（经管类专业适用）教案3.1.1教学设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课题3.1.1不定积分的概念与积分公式教学目标知识目标1)理解原函数和不定积分的概念，了解二者之间的关系；2)了解不定积分的几何意义和经济意义，会用几何意义求曲线方程，会用经济意义从边际问题求原经济函数；3)熟练掌握基本积分公式表。能力目标不定积分作为导数或微分逆运算引入的，通过教学活动使学生体会思维双向性，提高实际应变能力，发展学生思维，培养学生分析解决问题的能力。教学重点不定积分的概念和公式教学难点不定积分的概念教法学法探究式问题教学法、小组学习法教学反思对引入不定积分目的的认识，恰当地定义不
2、定积分。如何发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养，提高学习数学的兴趣.教学过程设计意图一、知识回顾导数和微分的公式料重伯努利试验二、情境引入问题1:若生产某种产品的成本函数为c(e)=e2+4e+3,则英边际成本函数为CQ)=2Q+4.现在的情形是，若已知C'(Q)=2Q+3,则生产该产品的成本函数C(Q)又是如何？进而，更一般地说，对于已知函数f(x),如何求函数F(x),使得F'(x)=三、合作探究1•学习新知设/(无)是定义在某区间上的已知函数，如果在该区间存在可导函数F(x)，使得
3、Fx)=/(x),则称F(x)是f(x)在该区间的一个原函数.例如，在(-oo,+oo)_L,因为(x2Y=2x,所以x?是2兀的一个原函数，又c?+iy=2兀，(/+c)'=2兀(其中C为任意常数)，所以引导学生有目的地复习，为后面的学习做准备设置问题情境，引入如何寻求一个导数式原来的函数，为归纳出不定积分概念做准备。从具体到抽象，然后再回来具体，从特殊实例归纳出一般结论的过程，再从高笔教saw教学过程（x2+l）,（x2+C）也都是2x的原函数.可见，一个函数若存在原函数,则原函数并不是惟一
4、的.事实上，如果函数/（X）有一个原函数，则/（兀）就有无穷多个原函数，而这些函数之间仅差一个常数.也就是说，如果F（兀）是于（兀）的一个原函数，那么F（x）+C（C为任意常数）也是/（无）的原函数.通常把F（兀）+C叫做函数/（x）的原函数族或者全体原函数，其中C是任意常数.若函数/（兀）在某区间上存在原函数，则称/（x）为该区间上的可积函数，并把/（兀）的原函数族称为/（兀）的不定积分，记为jf{x）dx,其中J称为积分符号，兀称为积分变量，/（x）称为被积函数，称为被积表达式.若F（x）是/
5、CO的一个原函数，则jf{x）dx=F（x）+C,其中C称为积分常数.由定义知，要求函数的不定积分，只需要求出它的一个原函数，再加上任意常数C即可.如，由前例（x2/=2x知，12xdx=x24-C.2.探究例题【例1】求不定积分jsinxdx・解因为（cosx）z=-sinx,也就是（一cosx）"=sinx,所以一cosx是sinx的一个原函数，故有
6、sinxtZr=-cosa：+C.【例2】求不定积分Jaxdx.XX解因为（axY=axa,也就是（所以上—是加的一设计意图实例找出差异，引
7、导学生发现原函数的不惟一性，来导出不定积分的概念，达到了突破难点的目的仔细讲解例子，让概念从感性上升至理性的认知过程，突出重点与学生共同探究，抓好概aIna教学过程设计意图个原函数，故有J/dx="+C.Ina念的学习，突出重点【例3】求不定积分J丄dx.・X解被积函数/(X)=丄的定义域为(-oo,0)U(0,4-00),当兀w(0,+8)时,有(In
8、x
9、y=(Inx=—,X当xg(-oo,0)时,有(In
10、<=[ln(-^)]z=—(-x)z=-,-xX由实例导出部分不定积分的公式所以
11、在定义域(-oo,0)u(0,+oo)内，有(In卜
12、)'=—,于是X—dx=InjJX(+c.3•学习新知归纳总结出基本积分公从以上的例子屮可以看出，由导数基本公式和不定积分的定义，式可以直接得到相应的基本积分公式.(1)Jkdx=kx+C(2)Jxadx=1严+C心1)Q+l(3)J—dx=In丿Xc+C(4)'x,axadx=Ina+C(a>0,dhi),特别地，Jk么二孑+c(5)JsinxtZv=--cosx+C(6)jcosxdx=sinx+C(7)Jdx-fsec2xdx=tanx
13、4-CCOSXJ(8)j——dx-fesc2xdx=-cotx+C.sirrx」由不定积分的定义直接可得(1)[Jf{x)dx=/(%)或f{x)dx=f(x)dx:(2)jFx)dx=F(x)+C或JdF(x)=F(x)+C.这进一步表明：不定积分运算与微分运算是互逆的.高笔教saw设计意图教学过程4.探究例题【例4］已知曲线y=F（x）在其上任一点（x,F（x））处的切线斜率仔细讲解解题的步骤和认知过程，突岀重点，培养学生分析问题和解决问题的能力为2兀，且曲线过（1,2
