离散信号与系统的时域分析信号与系统

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1、第5章离散信号与系统的时域分析5.0引言5.1离散时间基本信号5.2卷积和5.3离散系统的算子方程5.4离散系统的零输入响应5.5离散系统的零状态响应5.6系统差分方程的经典解法5.0引言在前面几章的讨论中，所涉及的系统均属连续时间系统，这类系统用于传输和处理连续时间信号。此外，还有一类用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散时间系统，简称离散系统。数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通信系统的核心组成部分也都是离散系统。鉴于离散系统在精度、可靠性、可集成化等方面，比连续系统具有更大的优越性，因此，近几十年来，离散系统的理论研究发展迅速，应用范围

2、也日益扩大。在实际工作中，人们根据需要往往把连续系统与离散系统组合起来使用，这种系统称为混合系统。5.1离散时间基本信号5.1.1离散时间信号连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函数。这类信号的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续点外，对任一给定时刻都对应有确定的信号值。离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量tk(k=0,±1,±2,…)的函数。信号仅在规定的离散时间点上有意义，而在其它时间则没有定义，如图5.1-1(a)所示。鉴于tk按一定顺序变化时，其相应的信号值组成一个数值序列，通常把离散时间信号定义为如下有序信号值的集合：fk

3、={f(tk)}k=0,±1,±2,…(5.1-1)式中，k为整数，表示信号值在序列中出现的序号。图5.1–1离散时间信号式(5.1-1)中tk和tk-1之间的间隔(tk-tk-1)可以是常数，也可以随k变化。在实际应用中，一般取为常数。例如，对连续时间信号均匀取样后得到的离散时间信号便是如此。对于这类离散时间信号，若令tk-tk-1=T，则信号仅在均匀时刻t=kT(k=0,±1,±2,…)上取值。此时，式(5.1-1)中的{f(tk)}可以改写为{f(kT)}，信号图形如图5.1-1(b)所示。为了简便，我们用序列值的通项f(kT)表示集合{f(kT)}，并

4、将常数T省略，则式(5.1-1)可简写为fk=f(k)k=0,±1,±2,…(5.1-2)工程应用中，常将定义在等间隔离散时刻点上的离散时间信号称为离散时间序列，简称序列。5.1.2离散时间基本信号1.单位脉冲序列单位脉冲序列定义为图5.1–2单位脉冲序列位移单位脉冲序列或图5.1-3移位单位脉冲序列2.正弦序列正弦序列的一般形式为由于式中，m、N均为整数。式(5.1-5)表明，只有当为整数，或者为有理数时，正弦序列才是周期序列；否则为非周期序列。(5.1-6)当正弦序列是通过抽取连续时间正弦信号的样本获得时，如果假设正弦信号的周期为T0，取样间隔为Ts，那

5、么，经过抽样得到的正弦序列可表示为式中，，将它代入式(5.1-6)可得对于连续时间正弦信号,按几种不同间隔Ts抽样得到的正弦序列示于图5.1-4中。当时，有此时，，是一个周期为16的周期性正弦序列，其图形如图5.1-4(a)所示。当，可得到如图5.1-4(b)所示的序列，其，是一个周期为23的周期性正弦序列；当，序列图形如图5.1-4(c)所示，其，由于,是一无理数，故f(k)是一非周期正弦序列，值得注意的是此时它的包络函数f(t)仍具有周期性。图5.1–4正弦序列3.指数序列指数序列的一般形式为(1)若A和均为实数，则为实指数序列。当a＞1时，f(k)

6、随k单调指数增长。当0＜a＜1时，f(k)随k单调指数衰减；当a＜-1时，f(k)的绝对值随k按指数规律增长。当-1＜a＜0时，f(k)绝对值随k按指数规律衰减。且两者的序列值符号呈现正、负交替变化；当a=1时，f(k)为常数序列。当a=-1时，f(k)符号也呈现正、负交替变化。(图5.1–5所示)图5.1–5实指数序列(2)若A=1，β=jΩ0，则是虚指数序列。我们已经知道，连续时间虚指数信号ejω0t是周期信号。然而，离散时间虚指数序列ejΩ0k则只有满足一定条件时才是周期的，否则是非周期的。根据欧拉公式，式(5.1-9)可写成可见，ejΩ0k的实部和

7、虚部都是正弦序列，只有其实部和虚部同时为周期序列时，才能保证ejΩ0k是周期的。(3)若A和β均为复数，则f(k)=Aeβk为一般形式的复指数序列。设复数A=

8、A

9、ejφ,β=ρ+jΩ0，并记eρ=r，则有可见，复指数序列f(k)的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列。图5.16复指数序列4.Z序列Z序列的一般形式为式中，z为复数。通常，称序列值为复值的序列为复序列。显然，Z序列是一复序列。若将z表示为极坐标形式根据欧拉公式，还可写成5.2卷积和5.2.1卷积和的定义定义两个连续时间信号f1(t)和f2(t)的卷积运算为同样地，我们定义为序列f1(k)和

10、f2(k)