.离散时间信号与系统的时域分析

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1、6.离散时间信号与系统的时域分析第6章线性时不变离散系统的时域分析6.1学习要求（1）掌握离散信号的基本描述方法、分类及其基本运算；（2）掌握离散时间系统的差分方程描述；（3）熟练掌握系统的单位样值响应；（4）熟练掌握卷积和的概念及计算；（5）掌握系统零输入响应和零状态响应的求解方法；（6）了解离散相关的概念和性质。6.2学习重点（1）系统的单位样值响应的计算；（2）零输入响应和零状态响应的求解方法；（3）卷积和的概念及计算。6.3知识结构16.4内容摘要6.4.1离散时间信号的定义离散时间信号是指仅在不连续的离散

2、时刻有确定函数值，而在其它点上函数值未定义的信号，简称离散信号，也称序列，常用x(n)表示。6.4.2常用的时间序列（1）单位样值序列?(n)2?(n)???1n?0?0n?0（2）单位阶跃序列u(n)?1n?0u(n)??0n?0?u(n)和?(n)的关系：u(n)??(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)?????(n?k)k?0??(n)?u(n)?u(n?1)（3）矩形序列RN(n)RN(n)???1(0?n?N?1)0(n?0或n?N)?N?1m?0矩形序列与阶跃序列、样值序列的关系：RN(n)

3、??(n)??(n?1)??(n?2)????(n?N?1)???(n?m)RN(n)?u(n)?u(n?N?1)（4）正弦序列x(n)?Asin(n?0??)式中，A为幅度，?为起始相位，?0为正弦序列的数字域频率，?0?（5）实指数序列x(n)?au(n)波形特点为：a＞1时，序列发散；a?1时，序列收敛；当a为负数时，序列值正负摆动。（6）复指数序列(??j?0)nx(n)?en2?。Nx(n)?e?ncos?0n?je?nsin?0n其中，?0为复正弦序列的数字域频率，?表征了复正弦序列的幅度变化情况。3（

4、7）周期序列对于任意整数n，若x(n)?x(n?N)（N为某一最小正整数），则序列x(n)是周期序列，N就是该序列的周期。正弦序列x(n)?Asin(n?0??)的不一定是周期序列，只有当?0N?2k?（k为整数）即2?0?Nk有理数时，才是周期为N的周期序列。0是无理数时，此时正弦序列不是周期序列。当2?6.4.3序列的运算（1）.移位：y(n)?x(n?m)（1）.翻褶：y(n)?x(?n)（3）加减：y(n)?x1(n)?x2(n)（4）乘积：y(n)?x1(n)?x2(n)（5）差分：前向差分：?x(n)?

5、x(n?1)?x(n)后向差分：?x(n)?x(n)?x(n?1)（6）尺度变换抽取：由x(n)得到x(mn),m正整数。例如，m?2，x(2n)，相当于两个点取一点，以此类推。插值：由x(n)得到x(n/m),m为正整数。例如，m?2，x(n/2),相当于两个点之间插一个点，以此类推。6.4.4离散卷积和定义：已知序列x(n)、h(n)，它们的卷积和y(n)定义为y(n)?m????x(m)h(n?m)??h(m)x(n?m)m?????记作y(n)?x(n)?h(n)。求解：卷积和运算可以分解为四步：反褶、位移

6、、相乘和相加。基本步骤与卷积积分相似性质：离散序列卷积和的代数运算与卷积积分有相似的规律，卷积和也服从交换律、分配律和结合律。即4x1(n)?x2(n)?x2(n)?x1(n)x1(n)?[x2(n)?x3(n)]?x1(n)?x2(n)?x1(n)?x3(n)x1(n)?[x2(n)?x3(n)]?[x1(n)?x2(n)]?x3(n)]x(n)??(n)?x(n)6.4.5离散时间系统的差分方程建立一个N阶线性常系数差分方程一般形式为y(n)??bix(n?i)??aiy(n?i)i?0i?1MN或者a?ay(

7、n?i)??bx(n?i)，iii?0i?0NM0?16.4.6离散系统的求解（1）递推法差分方程最原始的求解方法就是递推法，其原理是利用前一时刻的函数值经递推得到当前时刻的函数值。递推法求解常系数线性差分方程的方法较为简单，但常常只能得到方程的数值，而不易得到其闭合形式(公式)解。（2）经典解法与微分方程的经典解法类似，将差分方程的解分成齐次解和特解。求齐次解一般齐次差分方程表示为?ay(n?i)?0a为常数iNii?0齐次解yc(n)通解的一般形式为yc(n)??ni?1mm?ici??nj?m?1??cnjN

8、j式中，?是m阶重根；?j为其余(N?m)个单根求特解特解的函数形式取决于激励的函数形式。为求得特解yp(n)，需根据差分方程右端项选择合适的特解函数式（见下表6.4.1），代入方程后求出待定系数。5n（?）：如果x(n)为a，其中a是特征方程的一个次重根），那么强迫响应的表达式也必须乘以n。pp重根（即与yc(n)中的一项具有相同形式的p（3）零输入响应与