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《赵玉苗编高中数学导数优秀题集锦之四》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、赵玉苗编高中数学导数优秀题集锦之四1.已知函数/(%)=X2+/?sinX-2(/?e/?),F(X)=/(%)+2,且对于任意实数兀，恒有F(x)-F(-x)=O.(1)求函数/'(兀)的解析式;(2)已知函数g(x)=/(x)+2X+l)+«lnx在区间(0,1)上单调递减,求实数a的取值范围;(3)函数h(x)=InK+x2)--f(x)-k有几个零点?W(1)•.*F(x)=/(x)+2=x2+6sinx-2+2=x2+Z?sinx,依题意，对任意实数兀，恒有F(x)-F(-x)=0.即x2+bsinx—(—x)2-bsin(—
2、x)=O,即2〃sin;i=0所以b=0,所以f(x)=x2-2(2)•/g(x)=兀？一2+2(兀+l)+alnx,.:g(x)=F+2x+aIn兀，g(x)=2兀+2+兰x•・•函数&(久)在(0,1)±单调递减，二在区间(0,1)gO)=2兀+2+纟=2x+2人+^50恒成立XX:.a<~(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.••而一(2x2+2x)在(0,1)上单调递减a<-4为所求。112x(3)•・•h(x)=InK+兀彳)——f(x)-k=ln(l+x2)——x2+l-k:.h(x)=-x221+x9y.,令h(x)=-x
3、=0,解得x=0,-l,l当xv—1时，h(x)>0,当一1vxv0时，h(x)<051+x当0vxv1时，h(x)>0,当兀>1时，h(x)<0,••・/i(兀)极大值=/?(±l)=ln2+--k・•.方⑴极小值=A(0)=-k所以①当R>In2+丄时,函数没有零点;22②当1vRvln2+丄时，函数有四个零点；③当Rvl或R=ln2+丄时，函数有两个零点；22④当£=1时，函数有三个零点.2•设函数f(x)=tx2+2r2x+r-l(rgR,t>0)(1)求兀)的最小值s(/)；(2)若$(/)<-It+加对/w(0,2)时恒成
4、立，求实数m的取值范围。解(1)V/(x)=z(x+r)2-r3+z-l(zg/?,r>0)/.x=-t时，/(-/)取得最小值/(兀)=—尸+/—1,即5(r)=-?+r-l(2)令/?(z)=ky(z)—(—2/+tn)——t3+3/—1—m.lil/?(/)=—3^2+3=0,得/=1或/=—1(舍去)t(0,1)1(1,2)必)+0■增极大值1-加减・•・h(t)在(0,2)内有最大值1-m,・•・5(r)<-2t+加对虫(0,2)时恒成立等价于h(t)<0恒成立。即1-加v0,二m>13.设函数/(x)=x2-mlnx,/?(
5、x)=x2-x+a・(I)当d=0吋，f(x)>h(x)在(l,+oo).上恒成立，求实数加的取值范围;(II)当m=2时・，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围;(III)是否存在实数加，使函数/(兀)和函数处0在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出加的值，若不心在，说明理由。解(1)由a=0,/(x)>/?(x)可得一/z?Inx>-x即加5lnxY记(P=,则f(x)>h(x)在(1,+00)上lit成立等价于m<°(x)血n•lnx求得0(X)=lnx-1In2x当XW(1,
6、£)时;0(x)V0；当XG(e,+oc)时，0(x)>0故(p(x)在x=e处取得极小值，也是最小值,即0(X)min=。(£)=e9故加"•(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-21nx=a,在［1,3］上恰有两个相异实根。2令g(x)=x・21nx侧gx)=1当xefl,2)时,g'(x)v0,当xw(2,3］时,g*(x)>0g(x)在［1,2］.上是单调递减函数,在(2,3］上是单调递增函数。故g(Qnin二g(2)=2-21n2乂g(l)=l,g(3)=3-21n3・・・g(l
7、)>g⑶,・・・只需g(2)v卒g(3),故a的取值范围是(2-21n2,3-21n3)(2)存在m二丄，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性2厂(朗斷=2—巴=2屮函数f(x)的定义域为(0,+oo)。若必0,则/(x),>0,函数f(x)在(0,+co).上单调递增，不合题意;若加>0,由/(兀)、0可得2x2-m>0,解得故加>0时,函数的单调递增区间为(单调递减区间为(。，挣而呵在(“)上的单调递减区间是(0,)单调递增区间是讣+8)故只需J-=-,解Z得哙丄即当m-丄时，函数f(x)和函数h(x)在其公
8、共定义域上具有相同的单调性。y22224.己知a>0,函数f(x)=(2-x)--ax2,(x<2).(I)设曲线)，=/(x)在点(1,/(1))处的切线为若/与圆(兀+1尸+y2=1相离，求d的取
