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时间:2019-11-15
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1、赵玉苗编高中数学数列优秀试题集锦1.已知数列{阳满足存3柏=1+丄,我们知道当d取不同的值时,得到不同的数列.如当Q=1时,得到无穷数QS11列:1,2,…;当a=--时,得到有穷数列:-丄,・1,0.2322(I)求当d为何值时,他=0;(II)设数列{%}满足^=-1,^1=—!—(n^N*),求证d取数列{加中的任一个数,都可以得到一个有穷*-1数列{给};(III)若-2、a.2a+12故当d=时,«4=0・3解法二:':t?4=0,I+—=0,03=—1.••J1•1a22・I」・2_a32故当a=-——时皿4=°・3(Il)fW)去一:V/?j=-lA?+1=—-—,hn=+1.叽-1乞+1a取数列{%}中的任一个数,不妨设a=bn.*a=bn,・*.«2=1+—=1=hn_l.ebn«3=ld=1a2叽7/.an=1+=1H=b、=—1•an-lb2••aAT+i=O・故a取数列{%}中的任一个数,都对以得到一个有穷数列{心}.如轩去二:'/h[=-,bn+1=——,hn3、=——!——+1.仇一1亿+1当a=b]时,°2=1=0.h当a二仇时,1+—=Z?j,•:a3=0.b2-4(i—b时,02=1=••.03=1=1=b、,・:。4=0.b■)ci9b.~)一般地,当。=仇.时,如1=0,可得一个含有n+项的有穷数列5,°2,。3,…,a”+i.下曲用数学归纳法证明:①当n=i时,d=bi,显然。2=0,得到一个含有2项的有穷数列671,672-②假设当n=k时,d=/?i,得到一个含有k+1项的有穷数歹4、Jdi,d2,d3,…S+1,其中dk+i=0.则n=k+1时,a5、=bk+1,/.f/2=l+——=bk,如+i由假设可知,可得到一个含有知1项的有穷数列。2皿3,・・・,心+2.其屮如2=0.・••当n=M时,可得到一个含有好2项的有穷数列%如。3,…,你+2,其小你+2二0.山①②知,対一切“WN+,命题都成立。331(III)要使一va“v2,即一V1+——<2,22%3・•・要使一<心<2,当力.仅当它的前一项如】满足16、2a+122a+11a>——,2Cl>Oiikd<,22为公比的等比数列。33d+2—v,解不等式组(22。+1得<3a+2小<2,〔2°+1故a>0.1.已知数列{an}满足a]=l,a“+[=加”+1(/1WN*)(I)求数列S”}的通项公式;(II)若数列血}满足4k,-,4k2-,-4k-7、=(an+l)km(neNffiH«:{bn}S等差数列;(Ill)证明上一丄<〈+《+...+23込(I)解:・・・q“+]=2為+1(neN),••Q“+i+1=2(q“+1),・・・1如+11是以ai+l=2为8、首项,・・・外+1=2",既an=2n—1(/?wN)。(II)证法一:・・・4『屮2一2…4毎1=@+1化••1+R2+...+kn_°nk・°・2[(bi+b2+,,,+bn)-n]=nb,2[(b]+b?+…+bn+i)-(n+l)]=(n+l)bn+i②-①,得2(厲+厂l)=(n+l)bn+】-nb,即(n-l)bn+i-nbn+2=0.nbn+2=(n+l)bn+i+2=0.④-③,得nbn+2-2nbn+1.nbn=O,即bn+2・2bn+i+b=0,••-bn-2・bn+]二bn(nUN),{bn9、}是等差数列.证法二:同证法一,得(n-l)bn+i=nb„+2=0令n=l,得b)=2.设b2=2+d(d^R)„F而用数学归纳法证明bn=2+(n-l)d.⑴当n=l,得b]=2.(2)假设当n=k(k^2)时,b】=2+(k・l)d,那么k72k…门…、2宀zz,--,bk+尸—b——-=-—(2+伙一l)d)-—-二2+(伙+1)—l)d.K-1k-1K-1k-1这就是说,当n=k+l时,等式也成立.根据⑴和(2),可知bn=2(n-l)d对任何nGN"都成立.Vbn+rbn=d,/.{bn}是等差数列.10、a2k-12k-11⑶证明」••亠=芦二=—<夕"12色+1'_]2(2"—丄)么d]ck/na2d〃+l2•••仏=牟二显-」显-一,一丄(+),",•••』ak+]2a+,-122(2"】+1)23—2232*3.等差数列{%}的前“项和为S“,斫=1+血53=9+3a/2.(1)求数列{色}的通项陽与前〃项和Sj(II)设求证:数列{仇}中任意不同的三项都不可能成为
2、a.2a+12故当d=时,«4=0・3解法二:':t?4=0,I+—=0,03=—1.••J1•1a22・I」・2_a32故当a=-——时皿4=°・3(Il)fW)去一:V/?j=-lA?+1=—-—,hn=+1.叽-1乞+1a取数列{%}中的任一个数,不妨设a=bn.*a=bn,・*.«2=1+—=1=hn_l.ebn«3=ld=1a2叽7/.an=1+=1H=b、=—1•an-lb2••aAT+i=O・故a取数列{%}中的任一个数,都对以得到一个有穷数列{心}.如轩去二:'/h[=-,bn+1=——,hn
3、=——!——+1.仇一1亿+1当a=b]时,°2=1=0.h当a二仇时,1+—=Z?j,•:a3=0.b2-4(i—b时,02=1=••.03=1=1=b、,・:。4=0.b■)ci9b.~)一般地,当。=仇.时,如1=0,可得一个含有n+项的有穷数列5,°2,。3,…,a”+i.下曲用数学归纳法证明:①当n=i时,d=bi,显然。2=0,得到一个含有2项的有穷数列671,672-②假设当n=k时,d=/?i,得到一个含有k+1项的有穷数歹
4、Jdi,d2,d3,…S+1,其中dk+i=0.则n=k+1时,a
5、=bk+1,/.f/2=l+——=bk,如+i由假设可知,可得到一个含有知1项的有穷数列。2皿3,・・・,心+2.其屮如2=0.・••当n=M时,可得到一个含有好2项的有穷数列%如。3,…,你+2,其小你+2二0.山①②知,対一切“WN+,命题都成立。331(III)要使一va“v2,即一V1+——<2,22%3・•・要使一<心<2,当力.仅当它的前一项如】满足16、2a+122a+11a>——,2Cl>Oiikd<,22为公比的等比数列。33d+2—v,解不等式组(22。+1得<3a+2小<2,〔2°+1故a>0.1.已知数列{an}满足a]=l,a“+[=加”+1(/1WN*)(I)求数列S”}的通项公式;(II)若数列血}满足4k,-,4k2-,-4k-7、=(an+l)km(neNffiH«:{bn}S等差数列;(Ill)证明上一丄<〈+《+...+23込(I)解:・・・q“+]=2為+1(neN),••Q“+i+1=2(q“+1),・・・1如+11是以ai+l=2为8、首项,・・・外+1=2",既an=2n—1(/?wN)。(II)证法一:・・・4『屮2一2…4毎1=@+1化••1+R2+...+kn_°nk・°・2[(bi+b2+,,,+bn)-n]=nb,2[(b]+b?+…+bn+i)-(n+l)]=(n+l)bn+i②-①,得2(厲+厂l)=(n+l)bn+】-nb,即(n-l)bn+i-nbn+2=0.nbn+2=(n+l)bn+i+2=0.④-③,得nbn+2-2nbn+1.nbn=O,即bn+2・2bn+i+b=0,••-bn-2・bn+]二bn(nUN),{bn9、}是等差数列.证法二:同证法一,得(n-l)bn+i=nb„+2=0令n=l,得b)=2.设b2=2+d(d^R)„F而用数学归纳法证明bn=2+(n-l)d.⑴当n=l,得b]=2.(2)假设当n=k(k^2)时,b】=2+(k・l)d,那么k72k…门…、2宀zz,--,bk+尸—b——-=-—(2+伙一l)d)-—-二2+(伙+1)—l)d.K-1k-1K-1k-1这就是说,当n=k+l时,等式也成立.根据⑴和(2),可知bn=2(n-l)d对任何nGN"都成立.Vbn+rbn=d,/.{bn}是等差数列.10、a2k-12k-11⑶证明」••亠=芦二=—<夕"12色+1'_]2(2"—丄)么d]ck/na2d〃+l2•••仏=牟二显-」显-一,一丄(+),",•••』ak+]2a+,-122(2"】+1)23—2232*3.等差数列{%}的前“项和为S“,斫=1+血53=9+3a/2.(1)求数列{色}的通项陽与前〃项和Sj(II)设求证:数列{仇}中任意不同的三项都不可能成为
6、2a+122a+11a>——,2Cl>Oiikd<,22为公比的等比数列。33d+2—v,解不等式组(22。+1得<3a+2小<2,〔2°+1故a>0.1.已知数列{an}满足a]=l,a“+[=加”+1(/1WN*)(I)求数列S”}的通项公式;(II)若数列血}满足4k,-,4k2-,-4k-
7、=(an+l)km(neNffiH«:{bn}S等差数列;(Ill)证明上一丄<〈+《+...+23込(I)解:・・・q“+]=2為+1(neN),••Q“+i+1=2(q“+1),・・・1如+11是以ai+l=2为
8、首项,・・・外+1=2",既an=2n—1(/?wN)。(II)证法一:・・・4『屮2一2…4毎1=@+1化••1+R2+...+kn_°nk・°・2[(bi+b2+,,,+bn)-n]=nb,2[(b]+b?+…+bn+i)-(n+l)]=(n+l)bn+i②-①,得2(厲+厂l)=(n+l)bn+】-nb,即(n-l)bn+i-nbn+2=0.nbn+2=(n+l)bn+i+2=0.④-③,得nbn+2-2nbn+1.nbn=O,即bn+2・2bn+i+b=0,••-bn-2・bn+]二bn(nUN),{bn
9、}是等差数列.证法二:同证法一,得(n-l)bn+i=nb„+2=0令n=l,得b)=2.设b2=2+d(d^R)„F而用数学归纳法证明bn=2+(n-l)d.⑴当n=l,得b]=2.(2)假设当n=k(k^2)时,b】=2+(k・l)d,那么k72k…门…、2宀zz,--,bk+尸—b——-=-—(2+伙一l)d)-—-二2+(伙+1)—l)d.K-1k-1K-1k-1这就是说,当n=k+l时,等式也成立.根据⑴和(2),可知bn=2(n-l)d对任何nGN"都成立.Vbn+rbn=d,/.{bn}是等差数列.
10、a2k-12k-11⑶证明」••亠=芦二=—<夕"12色+1'_]2(2"—丄)么d]ck/na2d〃+l2•••仏=牟二显-」显-一,一丄(+),",•••』ak+]2a+,-122(2"】+1)23—2232*3.等差数列{%}的前“项和为S“,斫=1+血53=9+3a/2.(1)求数列{色}的通项陽与前〃项和Sj(II)设求证:数列{仇}中任意不同的三项都不可能成为
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