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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系单元整合学案新人教A版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二节平面与圆柱面的截线单元整合知识网络专题探究专题一与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类：圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角，与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理、圆心角定理和眩切角定理是解决此类问题的知识基础,通常利用圆周角、眩切角、圆心角与弧的关系来转化，并借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径（获得直角）来解决.【例1】如图，肋是圆。的直径，AZT为圆0上位于初异侧的两点，连接血并延长至点C,使BD=DC,连接北；AE,DE.匕求证：证明：如图，连接勿，因为BD=DQ0为加的
2、中点,匕所以OD//AC,于是上ODB=/C.因为0B=0D,所以ZODB=AB.于是AB=AC.因为点畀，E,B,〃都在圆0上，且〃，〃为圆0上位于肋异侧的两点，所以Z〃和为同弧所对的圆周角，故，E=/B.所以ZE=ZC.【例2】如图所示，D,F分别是的处化边上的点，且乙ADB=ZAEB.求证：ZCED=乙ABC.提示：要证明ZCED=ZABC,容易想到圆内接四边形的性质，需证B,I),ZT四点共圆.用圆內接四边形的判定定理不易找到条件，故采用分类讨论来解决.证明：作的外接圆，则点〃与外接圆有三种位置关系：①点〃在圆外；②
3、点〃在圆内；③点〃在圆上.(1)如果点〃在圆外，设劭与圆交于点F,连接月F,如图所示.则ZAFB=ZAEB.而ZAEB=ZADB,:.ZAFB=ZADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点〃不能在圆外.(2)如果点〃在圆内，设圆与劭的延长线交于只连接昇只如图所示,则ZAFB=ZAEB.又•・・ZAEB=/ADB,・•・AAFB=AADB.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点〃不可能在圆内.综上可得，点〃，B,D,E在同一圆上.:.上CED=上ABC.专题二与圆有关的线段的计算与证明在圆中，解决
4、与圆有关的线段的计算与证明问题时，首先考虑圆幕定理：相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理，从而获得成比例线段，再结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明，或列岀方程解得线段的长.【例3】如图所示，已知00和O0'外切于点代北、是外公切线，AfQ是切点，AB是00的直径，BD是①0的切线，〃是切点，求证：AB=BD.证明：作两圆内公切线济；交/Q于/<连接处，BE,CE.•:ZFAE=ZFEA,乙FEC=ZFCE、:.ZAFF+ZFEC=90°,即ZAEC=90Q.•・・/IE是直径，・・・Z血矽=90°
5、.・•・〃，E,C在一条直线上.'：AC切<30于儿:.ABLAC.在Rt△初C中，由射影定理，得AR=BE・BC.又BD切©0’于〃，由切割线定理得B0=BE・BC,:俪=肪.：・AB=BD.【例4】如图，直线肋为圆的切线，切点为〃，点C在圆上，Z肋C的角平分线他交圆于点龙必垂直駁f交圆于点〃.⑴证明：DB=DC；(2)设圆的半径为1,BC=曲,延长处交初于点尺求△财外接圆的半径.(1)证明：连接必；交BC于点、G.由弦切角定理得，上ABE=ZBCE.而上ABE=ZCBE,故ZCBE=ZBCE,BE=CE.又因为加丄脇；所
6、以加为直径，ZDCEFY,由勾股定理可得加=%(2)解：由(1)知，ZCDE=ZBDE,DB=DC故％是化的屮垂线，所以设处的中点为0,连接〃0,则上B0GW.从而AABE=ZBCE=ZCBE=30°,所以CFIBF,故RlHBCF外接圆的半径等于乂2
