高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系本讲测评2 新人教a版选修4-1

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1、第二讲直线与圆的位置关系本讲知识结构本讲测试1如图2-1，AB是⊙O的直径，C为半圆上一点，CD⊥AB于D，若BC=3，AC=4，则AD∶CD∶BD等于()图2-1A.4∶6∶3B.6∶4∶3C.4∶4∶3D.16∶12∶9思路解析:由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC2=AD·AB，于是AD=.同理，BD=，CD=，据此即得三条线段的比值.答案:D2如图2-2，在半圆O中，AB为直径，CD⊥AB，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，则图中相似三

2、角形一共有()图2-2A.3对B.4对C.5对D.6对思路解析:由题设，△ABC是直角三角形，CD⊥AB，可知△ACD∽△ABC∽△CBD，这就是3对.又AF平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE，△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似.答案:C3如图2-3，在⊙O中,AB为直径,AD为弦,过B点的切线与AD的延长线交于C,且AD=DC,则sin∠ACO等于()A.B.C.D.图2-3思路解析:连结BD、DO，过O作OE⊥AC于E，由AB为直径，有BD⊥AC，由△ABC是直角三角形，AD=CD，得△ABC是等

3、腰直角三角形，然后设AE=x，用x表示出CE，进一步表示出OC，利用三角函数定义即可得到所求的值.答案:A4如图2-4是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移才能使两跑道有相同的长度.如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移___________米（π取3.14，结果精确到0.01米）.图2-4思路解析:计算出内外跑道的长度差即可.答案:3.835如图2-5，已知△ABC中，∠ABC的平分线交AC于F，交△ABC的外接圆于E，ED切圆于E

4、，交BC的延长线于D.求证：AE2=AF·DE.思路分析:题目中的四条线段不能组成两个相似的三角形，所以利用平行将AE换成EC，根据△AFE∽△ECD，得到比例式，再换回线段即可.证明:连结EC.∵四边形ABCE内接于⊙O，∴∠7=∠3＋∠5.又∵∠5=∠2，∠2=∠1，∴∠7=∠3＋∠1.∵∠4=∠3＋∠1，∴∠7=∠4.∵DE切⊙O于E，EC为弦，∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD.∴,即AE·EC=DE·AF.∵∠1=∠2，∴=.∴AE=EC.∴AE2=DE·AF.6如图2-6所示，已知AB为⊙O的直径，C、

5、D是直径AB同侧圆周上两点，且=，过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线.图2-6思路分析:要证DE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，连结OD，只需证明OD⊥DE即可，即“作半径，证垂直”,这是证明圆的切线的另一方法.证明:连结OD、AD.∵=，∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE∥OD.∵AE⊥DE，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线.7如图2-7，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.图2-7求证：（1）DE⊥AC；（2）BD2

6、=CE·CA.思路分析:本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题，掌握常见的辅助线作法是解题关键，即连结圆心和切点的半径，根据切线的性质，则有半径垂直于这条切线.证明:(1)连结OD、AD.∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∴AB=AC，BD=DC.∴OD∥AC，DE⊥AC.(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴.∴CD2=CE·CA.∴BD=DC.∴BD2=CE·CA.8如图2-8，已知⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙

7、O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D.求证：AB2=BC·BD.图2-8思路分析:欲证AB2=BC·BD，即要证，于是只要证△ABD∽△ABC即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证.证明:∵AC是⊙O′的切线，轻轻告诉你AD是⊙O的切线，∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D.∴△ABD∽△CBA.∴，即AB2=BC·BD.9如图2-9，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下水面宽度AB为7.2米，桥的最高点处点C高出水面2.4米.现有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，

8、问这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由.图2-9思路分析:求出图中NF的长，只要NF的长超过2米即可.解:由垂径定理可知OP=1.5米，OC=1.5+2.4=3.9米,由可得，解得PQ=，所以QF=.因为,所以NF=2.1＞2,即这艘船能顺利通过这座拱桥.