选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系

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1、第2讲直线与圆的位置关系(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝________.解析　由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，sin∠ABC＝＝＝＝.答案　2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO＝________.解析　∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.由此得，∠ACO＝∠CAD，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.∴∠CAO＝40°，又∵∠

2、ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.答案　40°3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.解析　由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.答案　24.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于D，则＝________.解析　∵∠C＝90°，AC为圆的直径，∴BC为圆的切线，AB为圆的割线，∴BC2＝

3、BD·AB，即16＝BD·5，解得BD＝，∴DA＝BA－BD＝5－＝，∴＝.答案　5.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________．解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD，∴＝＝，∵＝，＝，∴＝.答案　6.(2012·陕西)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析　由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.答案　5

4、7．(2012·广东)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.解析　如图，连接OA.由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OAtan60°＝.答案　8.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．解析　∵AC、AD分别是两圆的切线，∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，∴△ACB∽△DAB.∴＝，∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.∴AB＝＝2(舍去负值)．答案　2二、解答题(共

5、20分)9．(10分)(2012·新课标全国)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝

6、∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.10．(10分)(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明　(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而＝，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论知，AC＝AE.