第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系

第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系

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1、第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.已知集合A={(x,y)

2、x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)

3、x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为(  ).A.4B.3C.2D.1解析 法一 (直接法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d==<1=r,所以直线与圆相交,故选C.法二 (数形结合法)画图可得,故选C.答案 C2.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(  ).A.[-3,-1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0)

4、,半径为,∴≤,即

5、a+1

6、≤2,解得-3≤a≤1.答案 C3.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a,b满足的关系是(  )A.a2+2a+2b-3=0B.a2+b2+2a+2b+5=0C.a2+2a+2b+5=0D.a2-2a-2b+5=0解析即两圆的公共弦必过(x+1)2+(y+1)2=4的圆心,两圆相减得相交弦的方程为-2(a+1)x-2(b+1)y+a2+1=0,将圆心坐标(-1,-1)代入可得a2+2a+2b+5=0.答案 C4.若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈

7、R)恰有三条切线,则a+b的最大值为(  ).A.-3B.-3C.3D.3解析 易知圆C1的圆心为C1(-a,0),半径为r1=2;圆C2的圆心为C2(0,b),半径为r2=1.∵两圆恰有三条切线,∴两圆外切,∴

8、C1C2

9、=r1+r2,即a2+b2=9.∵2≤,∴a+b≤3(当且仅当a=b=时取“=”),∴a+b的最大值为3.答案 D5.若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是(  ).A.B.∪C.D.∪解析 C1:(x-1)2+y2=1,C2:y=0或y=mx+m=m(x+1).当m=0时,C2:y=0,此时C1与C2显然只

10、有两个交点;当m≠0时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1与直线y=m(x+1)有两交点,当圆与直线相切时,m=±,即直线处于两切线之间时满足题意,则-

11、三、四象限的差为0,在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例,记直线OM与此时小圆O1的交点为M1,记∠AOM=θ,则∠OM1O1=∠M1OO1=θ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ.大圆圆弧的长为l1=θ×2=2θ,小圆圆弧的长为l2=2θ×1=2θ,则l1=l2,即小圆的两段圆弧与的长相等,故点M1与点M′重合.即动点M在线段MO上运动,同理可知,此时点N在线段OB上运动.点A在其他象限类似可得,故M,N的轨迹为相互垂直的线段.观察各选项知,只有选项A符合.故选A.答案 A二、填空题7.直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为________.解析 由题意得,

12、圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2,圆心到直线x-y=0的距离d==.设截得的弦长为l,则由2+()2=22,得l=2.答案 28.设集合A=(x,y)(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R,B={(x,y)

13、2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B=∅,则实数m的取值范围是________.解析 ∵A∩B≠∅,∴A≠∅,∴m2≥.∴m≥或m≤0.显然B≠∅.要使A∩B≠∅,只需圆(x-2)2+y2=m2(m≠0)与x+y=2m或x+y=2m+1有交点,即≤

14、m

15、或≤

16、m

17、,∴≤m≤2+.又∵m≥或m≤0,∴≤m≤2+.当m=0时,(2,0)不在0≤x+y≤1内.综上所述

18、,满足条件的m的取值范围为.答案 9.从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________.解析 (数形结合法)如图,圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6)2=9,圆心坐标为(0,6),半径为3.在Rt△OBC中可得:∠OCB=,∴∠ACB=,∴所求劣弧长为2π.答案 2π10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点

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