第3讲直线和圆、圆和圆位置关系

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1、第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝{(x，y)

2、x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)

3、x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)．A．4B．3C．2D．1解析　法一　(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C.法二　(数形结合法)画图可得，故选C.答案　C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)．A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析　由题意可得，圆的圆心

4、为(a,0)，半径为，∴≤，即

5、a＋1

6、≤2，解得－3≤a≤1.答案　C3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是(　　)A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0解析即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.答案　C4．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2

7、by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为(　　)．A．－3B．－3C．3D．3解析　易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴

8、C1C2

9、＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵2≤，∴a＋b≤3(当且仅当a＝b＝时取“＝”)，∴a＋b的最大值为3.答案　D5．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)．A.B.∪C.D.∪解析　C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．当m＝0时

10、，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，即直线处于两切线之间时满足题意，则－

11、圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A.答案　A二、填空题7．直线y＝x被圆x2＋(

12、y－2)2＝4截得的弦长为________．解析　由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝.设截得的弦长为l，则由2＋()2＝22，得l＝2.答案　28．设集合A＝(x，y)(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)

13、2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．解析　∵A∩B≠∅，∴A≠∅，∴m2≥.∴m≥或m≤0.显然B≠∅.要使A∩B≠∅，只需圆(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，即≤

14、m

15、或≤

16、m

17、，∴≤m≤2＋.又∵m≥或m

18、≤0，∴≤m≤2＋.当m＝0时，(2,0)不在0≤x＋y≤1内．综上所述，满足条件的m的取值范围为.答案　9．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析　(数形结合法)如图，圆x2＋y2－12y＋27＝0可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3.在Rt△OBC中可得：∠OCB＝，∴∠ACB＝，∴所求劣弧长为2π.答案　2π10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点