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1、选修4-1几何证明选讲第二讲直线与圆的位置关系2.1圆周角定理一.圆周角定理圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。已知在⊙O中，BC所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC.求证：∠BAC=∠BOC.⌒ABOCABOC(1)(2)ABOC(3)ABOC(1)ABOC(2)ABOC(3)(1)圆心O在∠BAC的一条边上.∵OA=OC,∴∠C=∠BAC∵∠BOC=∠C+∠BAC∴∠BAC=½∠BOC.(2)圆心O在∠BAC的内部.作直径AD.由(1)有∠BAD=½∠BOD,∠DAC=½∠DOC∴
2、∠BAD+∠DAC==½(∠BOD+∠DOC)∴∠BAC=½∠BOC.(3)圆心O在∠BAC的外部.作直径AD.由(1)有∠DAB=½∠DOB,∠DAC=½∠DOC∴∠DAC-∠DAB==½(∠DOC-∠DOB)∴∠BAC=½∠BOC.一个周角是360º.把圆周等分成360份，每一份叫做1°的弧.1°的弧是指任何一个圆来说的,跟圆的半径的大小无关.如图,∠AOB=90º,所以AB是90º的弧,A´B´也是90º.都是周角的四分之一.⌒⌒但AB并不等于A´B´,因为它们所在圆的半径不等.故相等的弧和相等度数的弧意义是
3、不同的.⌒⌒圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数。推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90º的圆周角所对的弦是直径.同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的圆周角也相等.例1如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.求证:AB·AC=AE·AD.证明:连接BE.∴AB·AC=AE·AD.∽ABCEDO例2如图,AB与CD相交于圆内一点P.求证:AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.⌒⌒DACBPE证明
4、:过点C作CE//AB交圆于点E,则有∵AE=BC,(?)⌒⌒∴DAE=DA+AE=AD+BC,⌒⌒⌒⌒⌒又∵∠DCE的度数等于DAE的一半⌒∴∠APD的度数等于AD的度数与BC的度数和的一半.⌒⌒∠ABE=∠BEC习题2.1(P26)1.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D,求证:D是AB的中点.2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂足D,且CD=6cm.求AD的长.3.如图,BC是⊙O的直径,AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF和AD相交于E.求证:AE=BE
5、.⌒⌒ABDOCACBDOBCADEF(第1题)(第2题)(第3题)E2.2圆内接四边形的性质与判定定理圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形.这个圆称多边形的外接圆.思考:任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗?为什么?任意矩形有外接圆吗?等腰梯形呢?一般地,任意四边形都有外接圆吗?ABCDOABCDADBCDABC如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征?DABC如图（1）连接OA,OC.则∠B=.∠D=定理1圆内接多边形的对角互补将线段AB延长到点E,得到图（2）（1）DABCE（2）定理2
6、圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.CABDEOABCDEO证明：(1)如果点D在⊙O外部。则（1）（2）∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。(2)如果点D在⊙O内部。则∠B+∠E=180°∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。圆内接四边形判定定理如果一个四边形
7、的对角互补,那么它的四个顶点共圆.当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.DABCE例1如图，都经过A,B两点。经过点A的直线CD与交于点C,与交与点经过点B的直线EF与交于点E,与交与点F.ACDEBF证明：连接AB∴∠BAD=∠E.∴∠BAD+∠F=180°∴∠E+∠F=180°∴CE//DF.求证：CE//DF.∵四边形ABEC是的内接四边形。∵四边形ADFB是的内接四边形。例2如图，CF
8、是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC,FQ⊥AC.求证：A,B,P,Q四点共圆AFBPQC证明：连接PQ。在四边形QFPC中，∵FP⊥BCFQ⊥AC.∴∠FQA=∠FPC=90º.∴Q,F,P,C四点共圆。∴∠QFC=∠QPC.又∵CF⊥AB∴∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余.∴∠A=∠QFC.∴∠A=∠QPC.∴A,B,P,Q四点共圆习题2.
