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时间:2019-07-14
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1、第二讲 直线与圆的位置关系1.圆周角定理(1)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______.(2)圆心角定理:圆心角的度数等于________________.推论1:同弧或等弧所对的圆周角______;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也______.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是______;90°的圆周角所对的弦是______.2.圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1:圆的内接四边形的对角______.定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的______
2、.(2)判定判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点______.推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点______.3.圆的切线的性质及判定定理(1)性质性质定理:圆的切线垂直于经过切点的______.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过______.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过______.(2)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的______.4.弦切角的性质定理:弦切角等于它所夹的弧所对的_______
3、_.5.与圆有关的比例线段(1)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的____相等.(2)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的____相等.(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的__________.(4)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的______.1.(课本习题改编)如图,P是圆O外一点,过P引圆O的两条割线PB、PD,PA=AB=,
4、CD=3,则PC等于________.2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径,MN与⊙O相切,切点为A,∠MAB=30°,则∠D=________. 2题图 3题图3.如图所示,EA是圆O的切线,割线EB交圆O于点C,C在直径AB上的射影为D,CD=2,BD=4,则EA=______.4.(课本习题改编)如图,PA切⊙O于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,OA绕点O逆时针旋转60°到OD,则PD的长为________. 4题图 5题图5.(2012
5、·湖南)如图所示,过点P的直线与⊙O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O的半径等于______.题型一 圆的内接四边形的性质与判定例1 如图,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为内切圆I与边CA的切点.若∠C=50°,则∠IEH=________.思维升华 证明多点共圆时,若它们在一条线段同侧,可证它们对此线段张角相等,也可以证明它们与某一定点距离相等;若两点在一条线段两侧,则证明它们与已知线段两端点连成的凸四边形对角互补.当证明四点共圆以后,
6、圆的各种性质都可以得到应用. 如图所示,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点,则∠OAM+∠APM=________.题型二 圆的切线的判定与性质例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB,且AD=2,AE=6.(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系;(2)求EC的长.思维升华 证明直线是圆的切线的方法:若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点),则连
7、接圆心和这个公共点,设法证明直线垂直于这条半径;如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的垂线,得到垂线段,设法证明这条垂线段的长等于圆半径. (2013·广东)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=________.题型三 与圆有关的比例线段例3 (2012·辽宁)如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明:(1)A
8、C·BD=AD·AB;(2)AC=AE.思维升华 (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用. 如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证:PM2=PA·PC;(2)若⊙O的半径为2,OA=OM,求MN
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