高中数学第二讲直线与圆的位置关系本讲小结学案新人教a版4-1!

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1、第二节平面与圆柱面的截线整合提升知识网络典例精讲直线与圆的位置关系是初等几何的核心,通过本章学习进一步熟悉并应用分类思想、运动变化思想和猜想与证明的数学思想方法.本讲有四类问题,一是与圆有关角的计算与证明,二是圆内接四边形性质与判定,三是切线的性质与判定,四是与圆有关线段的计算与证明.【例1】如图2-1,EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A的度数是______________.图2-1思路分析:要求∠A,可转化为求∠BCD.由已知∠DCF的度数,想到先求∠ECB的度

2、数,从而注意到题目所给的EB、EC为切线,将∠ECB与∠E的度数联系起来.解法一:∵EB、EC是⊙O的切线,∴EC=EB.又∠E=46°,∴∠ECB==67°.∵∠DCF=32°,∴∠BCD=180°-67°-32°=81°.∵∠A+∠BCD=180°,∴∠A=180°-81°=99°.温馨提示本解法借助切线长定理和圆内接四边形的有关性质,此题还可借助于弦切角定理来求.解法二:连结AC,∵EB、EC是⊙O切线,图2-2∴EB=EC.∴∠ECB==67°.∵EF切⊙O于点C,∴∠BAC=∠ECB=67°,∠CAD=∠DCF=32°.∴

3、∠BAD=∠BAC+∠DAC=67°+32°=99°.答案:99°【例2】如图2-3,D、E是△ABC的BC、AC两边上两点,且∠ADB=∠AEB.求证:∠CED=∠ABC.图2-3思路分析:要证∠CED=∠ABC,容易想到圆内接四边形的性质.而证A、B、D、E四点共圆,用圆内接四边形判定定理不易找到条件,我们采用分类讨论思想.证明:作△ABE的外接圆⊙O,则点D与⊙O有三种位置关系:①点D在圆外;②点D在圆内;③点D在圆上.(1)如果点D在圆外,设BD与⊙O交于点F,连结AF,则∠AFB=∠AEB,而∠AEB=∠ADB.∴∠AFB

4、=∠ADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不能在圆外.(2)如果点D在圆内,设⊙O与CD交于F,连结AF,则∠AFB=∠AEB.又∵∠AEB=∠ADB,∴∠AFB=∠ADB.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不可能在圆内.综上所求,A、B、D、E在同一圆上.∴∠CED=∠ABC.温馨提示通过证四点共圆,然后利用圆内接四边形的性质是本题的一个特色,四点共圆的证明除了圆内接四边形的判定定理及推论外,定理本身的证明方法就是一种有效的证法.证法中分类讨论思想是该证法的精髓,以反证法和圆周角定理作为辅

5、助手段.【例3】如图2-4,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=13,AB=5,O是AB上的点,以O为圆心,OB为半径作⊙O.(1)当OB=2.5时,⊙O交AC于点D,求CD的长.(2)当OB=2.4时,AC与⊙O的位置关系如何?试证明你的结论.图2-4思路分析:求CD的长容易想到利用圆幂定理.其中AC已知,只需求BC并证BC为切线即可.解:(1)在Rt△ABC中,BC==12.∵∠B=90°,OB为半径,∴BC是⊙O切线.又AB=5,OB=2.5,∴OA=2.5,即A在圆上.由切割线定理,得BC2=CD·AC.∴CD=.(2)

6、当OB=2.4时,AC是⊙O的切线,如图2-5.图2-5证明:过O作OM⊥AC于M,则△AOM∽△ACB.∴.∴OM=2.4,即点O到AC的距离等于⊙O的半径.∴AC切⊙O于点M.【例4】如图2-6,已知P是直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.(1)求证:PA·PB=PO·PE;(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求CF的长.图2-6思路分析:由PA·PB立刻想起割线定理.只需证PC·PD=PO·PE.(1)证明:连结OD.∵DF⊥AB,∴=.又∠AOD度数等于度

7、数的一半,∠DCF度数等于度数的一半,∴∠AOD=∠DCF.∴180°-∠AOD=180°-∠DCF.∴∠POD=∠PCE,∠P为公共角.∴△PCE∽△POD.∴.∴PC·PD=PO·PE.由割线定理PC·PD=PA·PB,∴PA·PB=PO·PE.(2)解析:∵AB⊥DF,∴DE=EF.∵DE⊥CF,∴△DEF为等腰直角三角形.∴∠F=∠FEH=∠HDE=45°.∵∠P=15°,∴∠DCF=∠P+∠CEP=15°+45°=60°.∴∠DOH=60°.在Rt△ODH中,DH=OD·sin∠DOH=2·sin60°=.在Rt△DHE中

8、,DE=.在Rt△CDE中,∠DCE=60°,∴EC=DE·cot60°=.∴CF=EF+CE=.温馨提示在圆中证明线段的关系式首要考虑的是圆幂定理,结合相似三角形进行等比代换或等线代换;圆中角的关系,则往往利用圆周角、弦切角、圆心角