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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系本讲小结学案新人教A版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二节平面与圆柱面的截线整合提升知识网络典例精讲直线与圆的位置关系是初等几何的核心，通过本章学习进一步熟悉并应用分类思想、运动变化思想和猜想与证明的数学思想方法.本讲有四类问题，一是与圆有关角的计算与证明，二是圆内接四边形性质与判定,三是切线的性质与判定，四是与圆有关线段的计算与证明.【例1】如图2-l,EB、EC是的两条切线,B、C是切点，A、D是（DO上两点，如果ZE二46°,ZDCF=32°，则ZA的度数是・思路分析:要求ZA,可转化为求ZBCD.由已知ZDCF的度数，想到先求ZECB的度数，从而注意到题目所给的EB、EC为切线，将
2、ZECB与ZE的度数联系起来.解法一：TEB、EC是00的切线,EC=EB.又ZE二46°,ZECB二180。一46。2图2-2TZDCF二32°,r.ZBCD=180o-67°-32°=81°.TZA+ZBCD二180°,AZA=180°-81°=99°.温馨提示本解法借助切线长定理和圆内接四边形的有关性质，此题还可借助于弦切角定理来求.解法二:连结AC,・・・EB、・・・EB=EC.TEF切00于点C,.•.ZBAC=ZECB=67°,ZCAD二ZDCF二32°.・・・ZBAD二ZBAC+ZDAC二67°+32°=99°.答案:99。
3、【例2】如图2-3,D、E是AABC的BC、AC两边上两点，且ZADB二ZAEB.求证:ZCED-ZABC.图2-3思路分析:要证ZCED=ZABC,容易想到圆内接四边形的性质.而证A、B、D、E四点共圆，用圆内接四边形判定定理不易找到条件，我们釆用分类讨论思想.证明：作AABE的外接圆00,则点D与00有三种位置关系:①点D在圆外;②点D在圆内;③点D在圆上.⑴如果点D在圆外，设BD与(DO交于点F,连结AE,则ZAFB=ZAEB,而ZAEB=ZADB.・・・ZAFB二ZADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不能在
4、圆外.(2)如果点D在圆内，设©0与CD交于F,连结AF,则ZAFB=ZAEB.又VZAEB=ZADB,AZAFB=ZADB.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不可能在圆内.综上所求,A、B、D、E在同一圆上.AZCED=ZABC.温馨提示通过证四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质是本题的一个特色，四点共圆的证明除了圆内接四边形的判定定理及推论外,定理本身的证明方法就是一种有效的证法•证法中分类讨论思想是该证法的精髓，以反证法和圆周角定理作为辅助手段.【例3］如图2-4,己知RtAABC中，ZB=90°,AC=13,A
5、B=5,0是AB上的点,以0为圆心,0B为半径作O0.⑴当0B=2.5时,00交AC于点D,求CD的长.⑵当0B二2.4时,AC与(DO的位置关系如何?试证明你的结论.图2-4思路分析:求CD的长容易想到利用圆幕定理.其中AC己知，只需求BC并证BC为切线即可.解：⑴在RtAABC中，BC=^AC2-AB2=12.VZB=90°,0B为半径,・・・BC是＜30切线.又AB二5,OB二2.5,・・・0A=2.5,即A在圆上.由切割线定理，得BC2=CD・AC.•“BC2144AC13⑵当0B=2.4时,AC是00的切线，如图2-5.证明：过
6、0作丄AC于M,则OM^AACB..0M_AO・・・0H二2.4,即点0到AC的距离等于的半径.・・・AC切00于点M.【例4］如图2-6,已知P是直径AB延长线上的一点，割线PCD交O0于C、D两点，弦DF丄AB于点H,CF交AB于点E.⑴求证：PA・PB二P0・PE;思路分析：rtlPA・PB立刻想起割线定理.只需证PC・PD二P0・PE.(1)证明：连结0D.TDF丄AB,.又ZAOD度数等于心〃度数的一半，ZDCF度数等于弄度数的一半,・•・ZAOD=ZDCF.・・・180°-ZA0D=180°-ZDCF.・・・ZPOD=ZPCE
7、,ZP为公共角.pcPE:.APCE^APOD.A——=——.POPD:.PC・PD二PO・PE.由割线定理PC・PD二PA・PB,・・・PA・PB二PO・PE.(2)解析:TAB丄DF,・・・DE二EF・・・・DE丄CF,ADEF为等腰直角三角形.・・・ZF=ZFEH=ZHDE=45°.VZP=15°,.ZDCF=ZP+ZCEP=15°+45°=60°.・・・ZD0H二60°.在RtAODH屮，DH二OD・sinZDOH二2・sin60°二羽.在RtADHE屮，DE二=^6.cos45°在RtACDE中，ZDCE=60°,•••EC二
8、DE•cot60°.•.CF=EF+CE=V6+V2・温馨提示在圆中证明线段的关系式首要考虑的是圆幕定理，结合相似三角形进行等比代换或等线代换；圆中角的关系，则往往利用圆周角、眩切角、圆心角与
