中考数学复习指导：旋转变换的妙用

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1、旋转变换的妙用旋转变换是图形的基本变换之一，它可以改变图形的位置，但不改变图形中线段的长度和角的大小，若能巧妙地利用这i性质，对某些图形进行适当的旋转变换，可以迅速找到解决问题的有效途径，下面举例说明，希望能够对同学们有所帮助.一、利用旋转构造全等三角形例1如图1,以等腰RtAABC的斜边AB为边向内作等边AABD,连结DC,以DC为边作等边ADCE,点B、E在CD的同侧，若AB=a/2a,则BE=.图1分析由于BE不是直角三角形的边，所以无法用勾股定理直接计算，但可通过将△BED以点D为旋转中心顺时针旋转60°得到△ACD,进而把求BE转化为求AC的反度.解•・•BD=AD,ABED=乙C

2、DA,ED=CD,把4BED以D点为旋转中心顺时针旋转60。,恰好与5ACD重合，则厶BEDw^ACD.•••AABC是等腰直角三角形=Qa,/.AC=BC=a.•・•'BEDgZUCD,则AC=BE,/.BE=AC=a.例2如图2,点A在线段BG上，四边形ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cn?和llcnr,则ACDE的血积等于多少?E分析要求出ACDE的面积，据已知条件可直接求出CD的长，故只要求出CD上的高即可.可是直接求CD上的高很难，不过可通过把ADAG以点D为旋转中心逆时钟旋转90°,得到AEDH.因旋转角度为90°，则C、D、H在同一直线上，且EH丄DH,即CDE屮CD

3、边上的高.从而使求EH转化为求AC.解把ADAG以D点为旋转中心逆时钟旋转90°,得到4EDH,4EDHg△GD4,则EH=AG,T旋转角度为90。，・・C、D、H在同一直线上.•・•EHkDH,・•・EH为厶CDE中CD边上的高.EH=AG=/DO-DA2=2,:yCD*EH=眉・例3如图3,正方形ABCD中，AB=V3，点E、F分别在BC、CD±,且ZBAE=30°,ZDAF=15°,求ZAEF的面积.分析求AAEF的血积必须求AAEF的一边和对应边上的高，虽然高比较难求，但可通过把AADF以点A为旋转屮心顺时针旋转90°得到△ABG,结合已知条件得厶AEF9△AEG,从而使求AAEF

4、的而积转化为求AAEG的面积.图3解把△ADF以点人为旋转中心顺时针旋转90。得到△MBG,则AF=AG.LBAG=Z.P/1F=15°.•・•厶BAE=30°,・；乙GAE=乙BAE+乙BAG=30°+15°=45°.•・•LEAF=90°-乙BAE-厶DAF=45°,・•・LEAF=乙GAE,.・.NAEFgAAEG.设DF=BG=兀，则：CF=爲-“BE=1,EC=-1,EF二GE=BG+BE=兀十1.由勾股定理，得EF2=CE2+CF2,得(％+1)2=(73-I)2+(73-%)2,解之得％=2#-3.=*~(x+1)x^/3=3-v5"«二、利用旋转构造特殊三角形例4已知正方形A

5、BCD内有一点P,PA：PB：PC=1：2：3,求ZAPB的度数.分析由于已知条件中三边不在同一基本图形屮，故无法直接求出，如图4,把AABP通过以点B为旋转中心顺时针旋转90°得到△BPC,同时通过旋转构建等腰直角三角形△PBP和厶卩。？，使得己知条件中的三边在构建等腰直角APBP和APCP中，将求ZABP转化为ZBPC.解设PA=1,PB=2,PC=3.把MBP通过以点B为旋转中心顺时针旋转90。得到△BP'C,则AABPg4CBP.:.P'B=PB=2,PT=/P氏+吨=迈,P'C=AP-1,乙APB=乙BP'C.・••厶PBP，为等腰直角三角形，・•・厶BP，P=45°.•・•P戸+

6、BC2=（2血）2+I2=9,PC=32=9,••・P卩+PT2=PC2,“PC=90°.・•・厶APB=ZBP'C=厶RPP+APP'C=45°+90°=135°.三、利用旋转构建平行四边形例5如图5,AD为AABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F,且AE=FE.试说明BF=AC的理由.5分析观察图5可知，BF与AC不在同一基础图形中，故直接证明比较困难，必须把边进行适当的转化.若把AABC通过以点D为旋转中心顺时针旋转180°得到ABNC,使四边形ABNC为平行四边形，从而使证明BF=AC转化为证明BF=BN.简解vAE=FE,:.乙1=乙2.•••四边形ABNC为平行四边形

7、，••・乙1=Z.4.AC二BN.•・•乙2=ZL3Z.3=Z.4..•・BN:=BF,AC=BF.，“四、利用旋转构造正方形例6如图6,在四边形ABCD中，AD=E图6BDC.ZADC=ZABC=90°,DE丄AB于点E,若四边形ABCD的面积为16,求DE的长.分析已知四边形ABCD为不规则图形，通过分割成若干个基础图形虽对以计算，但太复杂，计算量大，若把AADE以点D为旋转中心逆时针旋转90°得到ADC