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《中考数学复习指导：谈旋转变换在几何问题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、谈旋转变换在几何问题中的应用静止是相对的，运动是绝対的.在数学解题中，有时用“动”的观点來处理“静”的问题，即“化静为动”，常常能收到出其不意的效果.引例如图1,在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,D为AC边上的中点，过D点作DE丄DF,交AB于点E,交BC于点F.若AE=4,FC=3,求EF的长.分析多数学生从问题人手，连结BD,通过证明全等或相似实现线段(AE=BF,FC=BF)的转化，从而求得EF的值.解法一利用全等，如图2.连结BD,证△EDB9AFDC,得BE=FC=3,BF=4；再应用勾股定理，得
2、EF=5.解法二利用相似，如图2.通过证ZEDB〜△FDC,由BE：FC=BD：CD=1,得到BE=FC=3.同理BF=AE=4,再由勾股定理得EF=5・解法三常数做变数，化静为动，可以另辟蹊径.如图3,联想教材中两个正方形的旋转问题，将AE=4,FC=3看作是运动过程的瞬间，当正方形DHMN绕正方形ABCG的对角线AC的中点D,旋转到如图4所示的位置吋，设ABCD的边长为A,易证△DPE^ADQF,得PE=QF.设PE=QF=x,贝！JAP=4—x,QC=3+x.由AP=QC=—a,求得x=0.5,a=7.・・・
3、BE=AB—AE=3,BF=BC—CF=3,再rfl勾股定理得EF=5.AGM图3AG图4解法一、二紧扣条件，属于常规思路,关键是要想方法证明全等或相似，辅助线的添加有一定的难度.解法三是另辟蹊径，诠释条件吋用运动的观点进行理解，运用了“化静为动”的数学思想，把当前问题变为熟知的问题.这种意识更能揭示问题的本质，有利于培养学生的思维能力.这里再举数例，说明如何运用化静为动的思想方法处理“静态”的问题.1.弱化条件，化静为动例1如图5,已知正方形ABCD中，DC=12,E是CD±一点，DE=5,AE的中PM垂线分别交A
4、D、BC于点WN,垂足为P,则莎二—图5分析如图6,弱化屮垂线条件，将P点视为AE的屮点，MN是绕点P旋转的动线.通PMPM1过旋转，当MN//CD时，发现——可转化为——•由P为中点、PNT〃CD,可得PM，PNPN'515519PMPM"o5=—DE=—,则PN=12——=—•易证〜APNN*，则==-^-=一.2222PNPN'19192注通过旋转，让线段MN动起来，将不可比的两条线段放到可比的两个相似三角形中，巧妙地解决了问题.1.紧扣条件，化静为动例2如图7，矩形ABCD中，E、F分别在BC、AB匕UEF=
5、ED,EF丄ED,求BEC证：AE平分ZBAD.分析题中ZBAD=90°,要证AE平分ZBAD,即证ZEAD=45°.而由EF=ED,EF丄ED,可知EFD为等腰直角三角形，易知ZEFD=ZEDF=45°•故而将ZEAD与ZEFD和ZEDF进行转化.方法一ZEAD转化为ZEFD.如图8,将EF和ED视为互相垂直的直线构成的图形.绕点E逆吋针旋转使得直线EF与直线EA重合，此时旋转后的ED交AD的延长线于点G.若能证得EA=EG,那么问题迎刃而解.由图乩易证△EFA^AEDG,得EA=EG,ZEAD=45°,所以AE平
6、分ZBAD.方法二ZEAD转化为ZEDF.AD如图9,将EF和ED视为互相垂直的直线构成的图形，绕点E顺时针旋转使得直线EF与立线EB重合，易证△EBF^AEGD.得EB=EG,四边形EBAG为正方形，所以AE平分ZBAD.注以上通过化静为动的思想，让学生经历探索图形的变换过程，充分利用图形变换的特征，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形（题设）信息的目的，使较为复杂的问题得以创造性地解决.1.整合条件，化静为动例3如图10,AABC中，ZACB=90°,AC=BC,P是ZABC内一点，且PA=
7、3,PB=1,PC=2,求ZBPC的度数.分析由于条件分散，无从下手.如图10,将ACBP绕C点顺时针旋转90°到ACAP',得CP-CP=2,ZCP'A=ZCPB,ZPCP=ZACB=90°.由条件，得PP'=y/CPl2+CP2=a/22+22=2^2・进一步得PP,2+P*A2=PA2,得到ZAPP—90。.・・・ZBPC=ZAP'C=ZAPP+ZCP'P=90°+45°=135°.通过旋转，可把已知条件相对集中到新的直角三角形中，从而为应用勾股定理创造了条件.可见，正确利用图形的旋转变换可大大提高解题效率，不
8、过在使用这一方法解题吋,需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等边三角形、正方形（或等腰直角三角形）条件时，可将图形作旋转60°或90°的全等变换，可将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决.
