对称变换在几何证题中的应用

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1、整理人:对称变换在几何证题中的应用主讲人:今天我就简略地谈几道题目，首先看一道老题，想必大家都见过：如图,"BC为等腰直角三角形,AB=AC.M,N均为线段上的动点,且保持ZMAN=45求证：MN2=BM2+CN2.结论要证明的是一条直线上的三段满足一个关系，这能让我们联想到什么勾股定理属于“大角含半角”的模型，旋转可以出场。但是勾股定理要在一个直角三角形中才能成立，很好有的老师已经知道怎么舔辅助线了。比如这样：不妨以AN所在直线为对称轴,翻转三角形ANC得到三角形ANC'然后连接C'M,这样角MC'N就是一个直角，我们就得到了一个直角三角形,嗯，这可以视为旋转变换，从结论出发，倒过

2、來联想。当然在继续下去之前，还需要证明AMB与AMC'全等。这样CN,BM两条线段就被集中到同一个三角形中去了。接下來再看一道关于正三角形的正三角形Q工分别在BC.BA延长线上,BD=AE.求证:CE=DE.这也是老题了，想必也有不少人见过。选取过E垂直于CD的直线为对称轴，这里一般考虑构造全等三角形。E三角形BEB'是个等腰三角形，且角B是60度。那么叮以再具体一点，三角形BEB，是个正三角形，从而AE与B'C相等，BED与B，EC全等。下一题就是前两天才看到的，如图，△丄眈内接于GO9AB=29AC=4,^iAO-BC的最小值为，此时©O的半径为AABC的面积为・3这个问题作为初升

3、高题难度较大。但仍可借助对称变换获得解决，在这之前我们先看个简单点的,脑是OO的弦，过B作Q4平行线，交OOT点D,若O。半径为5,AB=&求应＞的长.这里也是通过对称变换将已知和未知的线段放进同一个三角形中，有老师已经想到了，构造等腰梯形，一个梯形内接于圆的充要条件为它是等腰梯形，这样就又可以在直角三角形屮运用勾股定理了。我们再冋到刚才的题，那里也是通过构造等腰梯形解决的，比如这样：为等腰梯^b'-c^AD'-AD-=AD)二aAA"<2aR.uR>6.其实下面的等式还可以用托勒密定理更快得到。下面再看个求角度的问题/I^AB^AB=AC.ZBAC=1()6°，P为△力—点^PBA=

4、T上BAP=23；求zC/M可考虑以AP所在直线为对称轴，不妨设B对称点为W,三角形PBB'会不会是个正三角形？容易计算出角PBC二30度,这样也可以,BC垂直平分B'P,B'C二PC,三角形AB'C会不会也是正三角形？这也很容易证明，再根据PC二PB',得角B，PC二角PB，067度，最后得到角CPA二角APB'-角B，PC二150度-67度二83度。