中考数学复习指导：对称变换在几何证明中的应用

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1、对称变换在几何证明中的应用对称变换是初中几何证明中的重要方法之一.根据本人的体会，我总结了对称变换应用于几何证明的基本要素，就是在同一图形中，把图形中局部图形进行位置变换，使局部图形的尺寸、角度等两个参数均不变，把原图中互不关联的线段联系起来，从而为证明铺平道路.若图形屮有角平分线、等腰三角形、正方形、菱形、线段平分等已知条件，就有了对称变换的基础，有时需要添加辅助线以创造这个条件.一、旋转对称变换类型1.图形中有一组线段相等并且相互有共同联结点例1如图1(1),/XABC中，D为线段的中点，ED丄FD,求证：EB+

2、FOEF.⑴(2)图1分析两条线段与第三条线段之间的关系，必须在同一三角形内才能比较，题目及图形中，EB、EF、FC三条线段不在同一三角形内，所以必须把三条线段或三条线段的等量代换线段放在同一三角形内，才能做出比较.这是一道经典题，这里应用旋转对称变换进行证明，图1(2).证法1在厶FEF中,FD=FD・・・*ZBDF=ZCDFED丄FF'・•・F、D、F在一直线上.由于FD=DF.・・・为等腰直角三角形，EF二EF.・・•在迟中，BE+BF=EF，=EF.・•・EB+FOEF.证法2已知条件屮，因为BD=DC,可以

3、根据两段相等并且相互有共同联结点的特点,应用旋转对称变换进行分析、推理、证明：以D为旋转中心，把ADFC旋转180°变换至△DFB的位置(图1(2)),就说明了AEDF为等腰直角三角形，EF=EF'.又在中，BE+BF'=EF=EF。・•・EB+FC>EF・注上而两种证明方法可以看出，旋转对称变换是整个图形的位置变换，不需再对图形的线段长度进行证明.若添加辅助线组成新图，还需证明新图与原图ADFC的全等,然后得到线段的等量代换的结论，证明过程比较繁琐.2.图形中有两线段相等并II相互有共同的联结点此吋，首先考虑以其中

4、短的线段的中点为旋转中心来解题，实现局部图形代换，把原图中互不关联的线段变换联系起來，从而打开证明思路.例2如图2(1),在ZVIBC中，CD=ABtZBAD=ZBDA,是3D边的中线，求证:AC=2AE.分析题中有两个线段平分的已知条件，以其中较短的线段BD作为分析的切入点，以线段中点E为旋转中心，将△4EB旋转180°至WED位賈(如图2(2)).・・・AA'=2AE,AB=A,D.可以看出，只耍证明AC=AA即证明△ADC竺△ADV.在△ADC、△ADA中，已有AD为公共边.接下来只要找到一对对应角相等，就能

5、得到两个三角形全等.・.・ZADC=ZB+ZBAD二ZB+ZBDA,ZADA^ZBDA-^-ZA'DB二ZBDA+ZB,:.ZADC=^ADA・・・/ADC^/ADA・・・AC=AA'=2AE二、轴对称变换类型轴对称变换的首要条件是图形及己知条件中必须有角平分线.若题中已知条件中具有角平分线，应想到尝试用轴对称变换分析题目.1.图形中有内角平分线例3图3(1)中，AC=BC,Z1=Z2,ZC=90°,证明：BD=2AE.分析题目及图形屮，BD为直角等腰三角形ACB^ZB的角平分线，首先想到用轴对称变换分析.以

6、角平分线BE■为对称轴，把RtAAEB变换至位置(图3⑵).图3(2)清晰表明，AE=A'E(轴对称对应边相等)，A4为RtAAfCA的斜边，A4f=2AE,BD为RtABCD的斜边.可见，只要证明Rt^ACA1^RtABCD,就能得到BD=AAr=2AE.・・•Z2+Z4=90°,Z3+Z4二90°,・•・Z2=Z3.在RtZVTCA、RtABCD中：Z2=Z3,AC=BC,・・・RtA/A'C4竺RtZXBCD.・・・BD=AA,=AE-i-A,E=2AE.2.图形中有外角平分线例4图4(1),AD为ZVIBC中

7、ZA外角的平分线，求证：AB+AC

8、5(1)正方形ABCD中，ZDAP=ZADP=5Q,求证：'BPC为等边三角形.分析图形为正方形，具有旋转对称变换的条件，以D(4)为旋转中心，把AAPD旋转90°变换至图5(2)ADP'C位置.但此位置还未明了△少^与厶BPCZ间的联系，而且△DPC在正方形A3CD的外狈IJ.必须把△QPC变换至正方形的内侧，即以DC为轴对称轴，把轴对称变