例谈_平移_对称_旋转_在几何证明中的应用.pdf

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1、·解题研究·(2011年第3期·初中版)31例谈“平移、对称、旋转”在几何证明中的应用655505云南省曲靖市富源县大河镇第一中学秦会龙平移、对称、旋转是初中几何中的三大变换，通过不∴四边形DFCE是平行四边形，同的变换，能把条件相对集中，使图中的各种关系明朗∴FC=DE，FC∥DE．化，以促进思维方法和解题能力的提高．本文笔者以例即过F点有BF∥DE，FC∥DE．题的形式说明平移、对称、旋转在几何证明中的应用，供∴BF和FC在同一条直线上，读者参考．∴点F在边BC上，且BF=FC=DE，BC∥DE．

2、1平移在几何证明中的应用1即DE∥BC，DE=BC．2平移能把分散的线段或角相对集中起来，从而使已2对称在几何证明中的应用知条件集中在一个基本图形中，或且经过平移产生新的对称包括轴对称和中心对称，对称变换可以使条件图形，而使问题得以转化．相对集中，也可以构成新的图形．在图形中有角平分线、例1七条直线两两相交，所得的角至少有一个角等腰三角形、正方形、菱形、中点等时就有了对称变换的小于26°．试证明．基础，有时需添加辅助线以创造这个条件．分析在平面上取一点P，将已知七条直线均平移例3在△ABC中，点D是边

3、过点P，成为交于P点的七条直线，则14个角的和为AB的中点，E和F分别是边AC，360°，不妨设为α，α，…α，它们都和某两条直线交角1214BC上的点，求证:△DEF的面积不的一个相等．因此，只需证明它们中至少有一个小于超过△ADE与△BDF的面积之和．26°．分析为把△ADE与△BDF图3因为α1+α2+α3+…+α14=360°，则必有一个角相对集中，利用中点这个条件，采用中心对称的方法把360°α1≤＜26°．原命题得证．14它们相对集中起来，作△ABC关于D为对称中心的对称例2已知，在△AB

4、C中，点D，E分别是边AB，AC图形△BAC'，延长ED交BC'于M，连接MF，即可达到集1中的目的．的中点，求证:DE∥BC，DE=BC．2证明作△ABC关于D为对称中心的对称图形△BAC'，则△ABC≌△BAC'，∴∠C'BA=∠CAB，延长ED交BC'于M，连接MF，∵BD=AD，∠MDB=∠EDA，∠MBD=∠EAD，∴△BMD≌△AED，∴MD=DE，图1图2∴S=S，△MDF△DFE证明将△ADE沿AB方向平移，得到△DBF，连接∴S=S+S＞S=S．四边形BFDM△DBM△DBF△MDF

5、△DFEFC．故△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和．∴△DBF≌△ADE，3旋转在几何证明中的应用∴BF=DE，BF∥DE，DF=AE，DF∥AE．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等∵AE=EC，较规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集中诸∴DF=EC，DF∥EC，条件的综合与推演．(2011年第3期·初中版)·解题研究·32用面积法高效解题225411江苏省泰兴市黄桥初级中学李印用面积法解题是根据题目给出的条件，利用等积变OA=6，OC=8，若将矩形换原理和有关面积计算的

6、公式、定理或图形的面积关系折叠，使点B与O重合，进行解题的方法．所谓高效解题是“走解题的直线距得到折痕EF，求折痕EF离”，说白了，就是将转化的环节减少一些，少走弯路．的长．“高效解题”一方面是对“有效解题”“低效解题”、“零效分析因为矩形折叠解题”、“负效解题”的减少和摈弃，另一方面更是对高效使点B与点O重合，所以率解题、高效果解题、高效益解题的理念实践与理想实折痕EF是线段OB的垂现．有时我们选用面积法进行问题转化，能恰到好处地直平分线．如图2，易证图1达到这一目的．△EBG≌△FOG，得GF=1

7、利用面积公式与菱形的性质进行转化GE，从而得四边形BFOE是菱形．利用菱形的面积等于例1如图1，把矩形OABC放置在直角坐标系中，1EF·OB，又等于EB·OA，列方程求出折痕EF的长．2櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧例4以△ABC三边分别作等边△ABD，△BCF，∵△ACE为等边三角形，△ACE，求证:DF=AE．∴AC=AE，∴DF=AE．例5已知，正方形ABCD中，P为内一点，∠APB=135°，AP=槡3，BP=1，求PC的长．

8、分析由于题中有正方形，为把条件相对集中，所以将它进行图4旋转变换以达到目的，把△ABP绕分析本题中由于DF与AE在不同的图形中，因此B点旋转90°得△BP'C，连接PP'，图5欲证DF=AE，可考虑两种方法:(1)证DF，AE分别所在△PP'C中，使问题得以解决．的图形具有全等关系;(2)通过中间量替换间接证明DF解把△ABP绕B点旋转90°到△BP'C的位置．=AE，此题可运用旋转变换使两个图形相互联系，以便则△BP'C≌△BPA，尽快的找到全等图形．