例谈代数计在几何证明中的应用.doc

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1、例谈代数计算在几何证明中的应用福建省永安市大湖中学：赖世挺“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”这是我国伟大的数学家华罗庚先生对数形关系最好的诠释！数形结合思想是中学数学中的一种非常重要的思想方法。在初中阶段的数学知识中，数轴、解直角三角形、函数等是比较典型培养学生数形结合思想的知识。不过，许多教师所强调的数形结合思想，主要偏向于在代数中用几何的图形或方法来解决，而在几何中用代数的方法来解决的往往被忽略。下面，通过几个例子，谈谈代数计算在几何证明中的应用。例1已知：如图，在等边△ABC的AC边上取中点D，BC

2、的延长线上取一点E，使得CE=CD。求证：BD=DE。分析：要证BD=DE，只须证明∠DBE=∠E，而已知AC边上的中点D，由等腰三角形的“三线合一”性质，易知∠DBE=30°，因此，只要计算出∠E=30°即可。证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°，且AB=BC又∵BD是AC边上的中线∴∠DBE=∠ABC=30°∵CE=CD∴∠CDE=∠E又∵∠CDE＋∠E=∠ACB∴2∠E=60°即∠E=30°∴∠DBE=∠E∴BD=DE例2已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为点C。⑴当

3、点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的角平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；⑵当点P在AB延长线如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的角平分线（不写作法，保留作图痕迹），设角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；猜想：∠CDP的度数是否随着点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明。分析：此题的⑴问和⑵问的前几步都比较简单，得出猜想∠CDP=45°不随着点P在AB延长线上的位置的变化而变化。在对猜想进行证明时，许多学生束手无策。下面从

4、几何方法和代数方法两方面进行证明。E证明：方法一：如右图，连结BC，交PD于E点。∵AB是直径∴∠ACB=90°；∵PC切⊙O于C点∴∠PCB=∠A又∵PD是角平分线∴∠CPD=∠APD∴∠A+∠APD=∠PCB+∠CPD即∠CDP=∠CED又∵∠ACB=90°∴∠CDP=∠CED=45°。方法二：如右图，连结OC，设∠A度数为x。∵OA=OC∴∠OCA=∠A=x；∴∠POC=∠OCA+∠A=2x。∵PC切⊙O于C点∴OC⊥PC即∠OCP=90°∴∠OPC=90°－2x∵PD是角平分线∴∠APD=∠OPC=（90°－2x）=45°－x∴

5、∠CDP=∠A＋∠APD=x＋45°－x=45°。评析：以上的两种证法，其中第一种几何方法用到了弦切角定理，而在新课标的实验教材中，弦切角定理已被删除掉了；第二种代数方法，巧妙地运用了方程思想，通过简单的代数运算得出结果，从而避开了弦切角定理的应用。例3如图，已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D点，⊙O′切⊙O于E点，切AB于F点，切CD于G点。求证：AC=AF。分析：本题如果用几何的方法很难证明出来，如果考虑用代数的计算方法，求出AC2与AF2的值，如果有AC2＝AF2，那么就可以得到AC=AF。证明：连结、、BC

6、，设⊙O的半径为R，⊙的半径为r，易得DF==r。∵⊙与⊙相内切∴=R－r又∵⊙与AB相切于F点；∴⊥AB∴∠=90°；在Rt△中，依据勾股定理，有＋＝∴OF＝＝＝∴AF＝OA＋OF＝R＋∴AF2＝(R＋)2＝＝＝2R(R－r＋)＝2R(R－r＋OF)∵AB是直径∴∠ACB＝90°；又∵CD⊥AB∴Rt△ACD∽Rt△ABC∴＝即AC2＝ABAD＝2R(OA＋OD)＝2R(R＋OF－DF)＝2R(R－r＋OF)∴AC2＝AF2∴AC=AF通过以上的三个例题，说明了在证明几何题时，如果当你无路可走的时候，不妨从代数的角度去想一想，说不定能

7、“柳暗发明”!其实，在初中阶段，有许多几何知识是从代数的角度来呈现的，比较典型的有勾股定理、射影定理、圆幂定理等等，这些都充分说明了几何的证明同样也离不开代数的计算！