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《中考数学复习指导：例谈进退互化策略在解题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例谈进退互化策略在解题中的应用本文举例介绍“进退互化”的解题策略.所谓进，就是把所求的数学问题推进到一般情形下进行研究，所谓退，就是在求解一个一般问题时，先对它作特殊化处理，以期找到解题的方向和解题途径.解题屮有时要以退求进，有时要先进后退.恰当运用进退的互化是解决数学问题的一条重要策略.下面举几例说明.例1计算：111112^+1723^2+273100x/99+99a/100'分析本题如果直接将分母有理化，明显缺少解题解慧，有违命题者的意图.因为直接将分母有理化往下不好进行，所以要另寻思路.仔细观察原式，可以发现每个分母都有相同的结构，并能统一写成二一的形式，故可将问题一般化，又由于1(n
2、+1)a/tT+nJn+1=1Jn+]•Jn(Jn+1+/n)_/e+1-頁Jn+]•Jn11=〒•Jnyn+1所以我们就找到了解题思路.例2计算:72011x2012x2013x2014+1.分析根据算式的特点，我们可以大胆猜测被开方数应是一个完全平方数，但rh于数值较大，一时看不清塑.为此，我们可以作一般化处理，用字母表示数试试看，由于n+1)5+2)(,n+3)+1=>/(n2+3n)(n+3n+2)+1=^/(n2+3n)2+2(n2+3n)+1二/(n+3n+1)2=n2+3n+L再把n=2011代入得20112+3X2011+l,这就是原式的结果,也验证了我们的猜测.评注我们在解决
3、上述两个例子吋，由于所求的问题形式较复杂，不容易看出解题的思路，于是把所求的问题先推进到一般的情形，体现了先进后退的策略.这样做不仅成功解决了问题，同时也看清了这两个问题的数学木质，例1是通过适当的拆项达到消项的目的；例2其实是一个数学结论：四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方数.例3如图1,在AABC中，ZB=2ZC,AD丄BC于D,M为BC的中点，AB=10cm,则MD的长为分析这是一道“希望杯”邀请赛试题，难度较大.如何使用“ZB=2ZC”与“M为BC的屮点”这两个条件成为解题的关键,观察图形可知木题要添加辅助线，但怎样添加是要进行一番研究的.我们先退一步思考:化处理來寻求答案呢？为
4、此，取ZB=60°.本题的图1、原题作特殊则乙C二30。，得LBAC=90°,.・.BM==AB=10cm..又AD丄BCBD==5cm,/•MD=BM一BD=10-5二5crn.这样我们就得到了原题的答案.下血我们来研究一般的情形.本题的方法较多，我们选取“ZB=2ZC”这个条件作为研究的方向.图2解如图2,作乙ABC的平分线交亿于点N,则乙ABC=2^NBC=：2乙C,.・.厶NBC=乙C,.・.NB=NC.:,NM//AD,:.ANDMNC=~MCBM=CM,:.NM丄BC,由RN是zUBC的角平分线可知AN=AB.DM_ABNC=尿…MC=BCf即字L二等，.MD=£佔二5呃j-BCB
5、C2例4如图3,内接于OO的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K,设OO的半径为R.求证：AK2+BK2+CK2+DK2是定值.分析定值问题的求解策略是先把一般问题特殊化，找出定值，然后再给岀一般性的证明.为了得出本题的定值，我们可以这样思考：若点K与点O重合，则AC与BD是两条互相垂直的直径，显然有AK2+BK2+CK2+DK2=4R2为定值.这一步不仅找到了定值,而且给我们指明了解题的方向一一这个定值就是直径的平方.B图3的延长线上一点，且ZEAD=ZF4C,DE+EF~~BF的值.解如图3,作直径AE,连结DE,则厶ADE=90。，乙E=厶ACD,:.AD2+DE2=AE2=4
6、疋.厶BDC+乙ACD=90°,厶DAE+Z.E=90°,・•./_BDC=厶DAE,BC=DEBC=DE,:.AtC+BK2+Cie+DK1=(AK2+DK2)+(BK2+CKj=AD?+BC2=AD2+DE2=40.在此基础上,我们可以进-•步得到AB2+BC2+CD2+DA2=2皿+BK2+CK2.+DK2)=8/?2,也是定值.例5如图4,在正方形ABCD中，AC是它的一条对角线，点F、E分别是BC、CD分析为了找出这个比值，我们先作特殊化处理.若AF平分ZDAC,则有乙FAD=AFAC=厶EAD=Z.AFC,从而AC=CF,易证AAEDgAAGD,.・.DE=DG.设正方形的边长为1
7、，则AC=CF=血・BC//AD,,4ADGs厶FCG,.匹一空刖DG_丄*CG=丽即1-DG二运’/.DG=DE=a/5"-1,.・.CE=Q,.・.EF=2,DE+EF_Q-1+2…bf—=q+i=•到此我们找到了本题的结论：DE+EF=BF.本题告诉我们，证明两条线段的和等于第三条线段，常用的方法是截长补短.解如图4,在边BC±取点H,使BH=DE,易证△ABH^AADE,・・・ZHAB=
