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《数学解题策略：进退互化》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数学解题策略：进退互化华罗庚教授说过，解题时先足够地退，退到我们最易看清楚问题的地方，认透了，钻深了，然后再上去.他认为，善于''退〃，足够地''退〃，退到原始而不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍.向前推进是人们认识事物的自然趋向，数学知识的发展和命题的形成无一不是一个前进的过程.但是，这种趋势和进程是不平坦的，冇时要以退求进，冇时要先进后退，恰当运用进退互化正是辩证思维的-个重要策略，具体到-个数学问题，如果肓接下手行困难，就可转而考虑一个更特殊的问题或一个更普遍的问题。明智的退冇3个基木功能：提示解题方向、寻找解题途径、直接解答问题.•提示
2、解题方向有的题目求解方向不明确，经过''退〃（収特殊值、特殊位置、特殊结构）可以找到求解方向，抓住了解题的前进方向，是解题的•重大进展。—昭1如图1•已知抛物线y=十处十*。工0)的对称轴为克线x=l,且抛物域经过A«-I,0)、C(0.-3)商点，与工柚交于另7、B・(1〉束这条抛物錢.所对应的函數关系式'(2)在抛物线的对称轴x-=l上求一点M,使点M到点B的距爲与到点C的距离之拦最大•并求此时点M的坐标.解题指导:第(1)问略；第〈2〉问是初中阶段不太當见的线段差的最大值问题•为了说明清楚•先退回一个简低数学问题•看两个递进式的问题：问題1如
3、图2•巳知平面上有两个巳知的定点A和B・另有•条已知也线I.A和B庄直线/的一侧，求在已知宜线/上找一点P,便得IPA
4、—IPB［的值最大•这就是线段差的最大值问题.图2分析：可以应用三角形三边的关系•两边之差小于第三边.在三角形APB中•无论尸点怎样穆动•只婆A・B,P三点不共线•就构成三角形.就必然满足
5、PA
6、-IPB
7、
8、.当P运动到O点时.1点共线，可以取到等号■此时有
9、PA
10、-
11、PJ3
12、=
13、AB•由此可知JPAI-大值为IAB
14、•此时P运动到射线AB与直线/的交点()处.问题2如图3,若A.B两个定点在血线/的曲侧■如何在已知直线I上
15、找一点P•使得IPA-PB的值最大呢?有r问題1的经验•问题2中八和b分布在直线两侧•作b点关r直线/的对称点B
16、•由对称点的性质(即直线/上的卩点刊“和3点的跖肉相等)•可知
17、PA
18、-
19、PB
20、=-
21、PAI-
22、PB.
23、•所以冋题转化成r问題1的模型•可以知道PA-PB}的般大值为
24、八艮的长占P运动到宜线/£射线A艮的交点O时取得•问題解决.显然•第⑵问屈于上而“问题2"中的模式•我们先作点(、关于住线上=1的对称点(「进而作射线BC,交点线工=I于点M・探究出点M的坐标即可.解析M1〉・・•抛物线经过点C〈0・3)・・•・c=一3・・・
25、・，=+虹一3・乂抛物线经过点A(—]・())・对称轴为"=]・・・・•b解・••这条抛物线所对应的皈数关系式为，=十一2工一3.⑵•・•点A(—1.0〉，对称轴为宜线工=1・・・・点B(3.0).设C点关于直线工=1的对称点为G・作射线BG交直线工=1于点M,由相似三角形的性质易得M点的坐标为(1.-6)・评析：第(2)问处理的关键在于退回“问题2”求解的经验•顺便指出.得到点G的坐标后•也可用解析法得到点M的坐标•先求直线的坍析式，再把x=l代入即可明确M的坐标.•寻找解题途径希尔伯特说过，在解决一个数学问题吋，如果我们没有获得成功，原因常常在于
26、我们没有认识到更一般的观点。问题经过''退"Z后，简单了，特殊了，完成起来就容易了，简单情况的处理对能呈现着复朵问题的解决方案，特殊情况的完成可能提供了一般情况的类比基础。今年全国屮考刚一结束，我关注到网上各人论坛、一些初屮数学老师的QQ群屮都在讨论某市的•道小考压轴题，丫i到世高屮数学老师看到后，•眼看透问题的深层结构，使川了高屮数7抛物线的''准线〃、''焦点〃等知识快速获得了问题的思路，人家都如释重负，感叹命题组专家设计问题的''超纲性〃，真是这样吗？我们先看一下题目：_昭2已釦抛物线y「ax丁bj•十＜■经过A(—4・3)、B(2・0)两点
27、，当丿=3和工一3时•这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过.点C(0♦—2)的直錢J与H轴平打.O为坐标原点.(1)求直銭AB和这条牠物践的解析式；(2)以A为圓心・AO为半径的冏诃为0A•抑斯直线/与OA的位JT关系，并说明理由】(3)设jtftAB±的点D的橫坐标为一I・P(7”m)是抛物线y=a.rx4-6^+e上的动点•当厶卩。。的周长最小时，求四边形CODP的面积.解析：前面两问非常简单•我所带的一个班上的42人做此题时•有36人都解出来了，请看简解：(1)因为当x=3和工=3时■这条抛物线上对应点的纵坐标相等.故6=0.把A(4,3),B
28、(2,0)的坐标代入，=a_r'46•♦得y=z-~x'—1.设直线AB的解析式为y=kx-b.把/U-4
