2、图2,在等腰RtABC中，AC=BC=2y/2，点P在以斜边AB为直径的半圆O上，点M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点3时，点M运动的路径长是()图2(A)&兀(B)71(C)2a/2(D)2解析由点M为PC的中点，可知殂=丄，并且在点P的运动过程中该值保持不变,CP2从而联想位似图形的定义和性质构造半圆O的位似图形•分别取AC,BC的屮点D,E,连结DE,以DE为直径作半圆N,则半圆N是半圆O的以点C为位似中心、丄为位似比的2位似图形.根据位似图形的定义和性质可知，当点P运动时，CP与半圆N交点始终是CP的中点，即为点M,因此，点M的运动路径就是半圆N.易求得其长度为龙，因此
3、选择B.从引例1可以看出，当两个动点与一定点的连线的夹角为一定值时，可以通过旋转主动点所在图形得到从动点的运动轨迹•同样，从引例2可以看出，当两个动点与一定点在同一条直线上（实为两个动点与一定点的连线的夹角为0。），且它们到定点的距离之比为一定值时，可以通过构造主动点所在图形的位似图形得到从动点的运动轨迹•很多题目中的主动点、从动点同时具备上述两个条件，那么，我们就可以同时运用位似变换和旋转变换进行求解.现展示儿例，以供读者分享借鉴.例1如图3,在平面直角坐标系中，已知坐标原点O是正MBC的AB边的中点，且点A是OM上的一个动点，点M的坐标为（3,3）的半径为2,当点A在OM上运动一周时
4、，求点C的运动路径长解析点A为主动点，点C为从动点，连结OC,易得ZAOC=90°且鬻皿GC"•点。是定点，则点A点C与定点。的距离之比为6连线夹角为90°•可先以点O为位似中心、巧为位似比构造位似ON,如图4,则ON的半径为2JL延长OA交OW于点0由位似图形的定义和性质可知，OD=*OA=OC,从而可将点C看作是由点D绕点O逆时针旋转90°而得.从集合观点看，点C的运动轨迹为ON绕点O逆时针旋转90°而得，记为0P,如图5.因此，当点A在上旋转一周时，由位似性质可知点£＞在O7V上也旋转一周，由旋转变换可知，点C在OP±旋转一周，且。P的半径为2翻.因此，点C的运动路径长为OP的周长
5、，即4屁.例2如图6,的半径为4,RtABC的顶点在OO上，ZB=90°,且tanA=-,当点A在（DO上运动时，求OC的最小值.4解析显然，点A为主动点，点C为从动点，由圆的旋转不变性，可将点B看作是定3点•易知，点C.点A与定点3的距离之比为一、连线夹角为90°,可先以点B为位似中433心、一为位似比构造位似OD,如图7,则BD=-BO=3.设AB与OD的交点为G,由44333位似图形的定义和性质可知，BG=—BA,根据tanA=—得，BG=-BA,所以444BC=BG,从而可将点C看作是由点G绕点B逆时针旋转90度而得.从集合观点看，点C的运动轨迹为OD绕点B逆时针旋转90°而得
6、，记为OE,如图8.因此，当点A在OO±旋转一周时，由位似性质可知点G在OD上也旋转一周，由旋转变换可知，点C在OE上旋转一周.连结OE,BE,则AOBE为直角三角形，易知，OE=5,当点C在线段0E上时,Aoca最小值,例3如图9,AB是。0的直径，点C在的延长线上，AB=BC=10,点P是OO±一动点，连结PC,以PC为斜边在PC的上方作RtPCD,使ZPDC=90°,tanZDPC=-,连结0£>,则线段长的最小值是.4解析点P为主动点，点D为从动点.在RtPCD中，rtltanZDPC=-,可得4CD33cosZDCP=—=卩ZDCP是一个大小固定的角.以点C为位似中心、-为
7、位似比构CP55造位似QM,如图10,则其半径为3.设CP与OM的交点为E,由位似图形的定义和性CE3质，可知—因此CE=CQ,从而点D可看作是把点E绕点C顺时针方向旋转CP5ZDCP的大小得到.从集合观点看，点D的运动轨迹就是把G)M绕点A顺时针方向旋转ZDCP的大小得到，设为ON,由旋转不变性可知，ON的半径为3.此时，问题变成了ON外一定点O到ON上一动点之间距离的最小值，连结ON,交ON于点F,则OF的CN3CD长即为所求最
