2、D、E分别是4B、AC边的中点，可知AD=AE.再由旋转的性质得到•Z^B'AD=厶C，AE=a.根据“SMS”全等模型可得△B'AD竺△%£,・•・DB‘=ECI(2)tDB‘〃AE,・•・乙B'DE=乙DAE=90°.cos乙B'AD=cosaAD=AB7a=60°>评析本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质.题屮的两个等腰三角形中隐含着两对对应边相等，易想到利用“SAS”全等模型分析，从而使问题迅速得解，4F1问题⑵也可证ZAEC=90°,在RtAAEC中，根据cosa=——=-,求得旋转角a=60°.AC'2二、两正方形组合型例
3、2如图2,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.G图2(1)求证：EB=GD；(2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由；(3)若AB=2,AG=V2,求EB的长.解析⑴由正方形ABCD和正方形AEFG知：AG=AE,AB=AD.又ZGAD=90°+ZEAD,乙EAH=90°+LEAD,-，得到厶GAD=/EAB.根据“S4S”全等模型可得*;△GADw△EAB*EB=GD・(2)连结BD,由(1)得乙ADG=乙ABE.在中，乙DHB=180°一(Z.HDB+厶HBD)=1
4、80。一(45°+乙ADG+45°-乙ABE)=180。-90°=90°,即EB丄GD.(3)设〃。与AC交于点O,则MC丄BD.由AB=AD=2,在RtZVIBD中，得RD=/AB2+4P2=2^2.由亿丄BD,可知5DOG是直角三角形，所以GD=7OC2+OD2=/(2Q)2+(矩卢:=/10.由(1)得EB=GD=/10.评析本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断与性质以及勾股定理，题中的两个正方形中隐含着我们需要的两对相等的对应边，利用“SAS”全等模型分析，易判断出夹角相等，从而完成⑴问，根据⑴的解答才能顺利完成(2)、(3)问.三
5、、等腰三角形与正方形组合型例3如图3(1),AABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在AB、AC边上，此吋BD=CF,BD±CF成立.(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转e角(0°<6<90°)时，如图3(2),BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3(2),延长BD交CF于点G.①求证：BD丄CF；②当AB=4,AD=J^时，求线段BG的长.解析⑴由等腰直角AABC和正方形ADEF知：AB=AC,AD=AF；由旋转性质得ZBAD=ZCAF=0.根据“S
6、AS”全等模型可得△BAD竺△CAF,.・・BD=CF.(2)①设BG交AC于点M,则"MBL.CMC.由厶BADwACAF,可得厶ABM=厶GCM.又乙AMB+乙ARM二90%代换得Z.GMC+LGCM=90°,即乙MGC=90%/.BD丄CF.②过点F作刃V丄4G于点N,易知ADEF是正方形..•:AD二血AN=FN=j-AE=1-在等腰RtZUBC中=4C=4,・•.CN=AC-AN二3；在RtAFCTV中，tanZ.FCV=:黑二£.CN3那么，在RIA4B/W中，可得Ian/LABM从而得砒==令，Q・•.CM=AC-AMy.由①，知丄
7、CF.根据tanZ.FC/V=^=*,可设GM=k,CG=3k.由勾股定理，得CM=/Tofc,即川以二号，解得R二台乎，又BC==密=4匹,所以在Rt^BGC中，BG=7^2_c不=评析此题利用图形的旋转，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识，综合性很强.问题⑴利用“SAS”全等模型易得解，根据(1)中的全等条件，利用其对应角相等并结合条件中的两角和为90°,可证⑵问中的⑪第②问利用①中的结论垂直，并结合三角形函数，求得CC的2,最后利用勾股定理得解.四、等边三角形与菱形组合型例4已知AAB
8、C为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重台)，以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆吋针排列)，使ZDAF=60°
