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1、例谈转化思想在中学数学解题中应用转化思想是中学数学中最重要、最基本的思想方法之一，其覆盖面之广不仅使之成为一种基本的数学解题策略，更是我们在日常生活中的一种重要的思维方法。在转化思想方法指导下，我们常常可以将不熟悉和难解决的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，从而使问题得以解决。转化思想在中学数学教材中体现得较为宽广，数学中可以实现转化的方法是很多的，本文主要通过举例子的方法谈谈转化思想在中学数学应用中主要涉及的基本类型。、未知向已知转化例1、已知a,B都是锐角，sina二12,co
2、s(a+B)=12,则cosB等于()A.1-32B.3-12C.12D.32解析:Va是锐角，且sina=l2cosa=32又TB是锐角，且cos(a+0)二12/.sin(a+0)=32•IcosB=cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina=12X32+32X12=32.•.选D点评：很多同学容易注意到此题的特殊性，给出角的三角函数值均为特殊值，由此可将角a和a+B求出，从而求出角B的大小，进而求出•但是如果此题给出的不是特殊值该如何求解呢？能不能找到适合此类题目的一般解法呢？有的同学也许会说将展开，利用已知条件及l=sin2a+cos2a
3、=sin2+cos2B即可求解，但是这种做法有时计算量较大，因为涉及到平方问题。此时我们注意到已知角和所求角之间的关系，将所求的B用已知三角函数值的角a和a+B表示出来，即将未知的转化为已知的来表示,便可得到解此类问题的一般方法。二、复杂向简单转化复杂问题简单化是数学解题中运用最普遍的思考方法，一个较复杂或难解决的问题，通过对问题深入观察和探讨，转化成简单问题可迅速求解。例2、若不等式x2+ax-2❷0在区间［1,5］上有解，则a的取值范围是()A.(-235,+s)B.［-235,1］C.(1,+^)D.-235)解析：若不等式x2+ax-2❷0在区间［1,5］上无解，设f(x
4、)=x2+ax-2,则在区间［1,5］上f(x)WO恒成立，由二次函数的图象，可得△>()f(1)wof(5)W0,解得aW-235,所以不等式x2+ax-2>0在区间［1,5］有解时，a的取值范围为(-235,+8)。所以选Ao点评：题目给出的是一个含参数的一元二次不等式，如果单纯从不等式入手的话，有的同学认为可以求出不等式的解集，使得解集与区间［1,5］有交集即可，但是画数轴发现要分成几种情况，比较麻烦，而且涉及到无理不等式；如果从一元二次函数入手的话，简单画出符合条件的图象，会发现也要分为几种情况。针对于以上情况，我们通常采用的方法是，将复杂问题简单化，正面考查比较复杂的话
5、我们可以先考虑其反面，即先求出使不等式x2+ax-2>0在区间［1,5］上无解的a的范围，再找补集即可。而“不等式x2+ax-2>0在区间［1,5］上无解”可直接转化为x2+ax-2W0“在区间［1,5］上恒成立”，应用二次函数的性质求解，也可再将"x2+ax-2W0在区间［1,5］上恒成立"转化为"x2-2xWa在［1,5］上恒成立”，即转化为最值问题来解决。三、数与形的转化数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。例3、设对于任意实数xW[-2,2],函数f(x)=lg(3a-ax~x2)总有意义，求实数a的取值范
6、围。解析：f(x)有意义，有3a-ax-x2>0,即x2+ax~3a4点评：通过数与形的转化，抓住了抛物线的特征，所以建立了实数a的不等式组，从而求出a的范围。四、一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然。这种辩证思想在中学数学中普遍存在,经常运用，这也是转化思想的体现。例4、设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=。分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值•如：S2,S1,S3成等差数列，求q的值•这样就避免了一般性的复杂运算.解析：由题意，设S2,S1,S3成等差数列，则S
7、2=al+alqSl=al,S3二al+alq+alq2•?S2+S3=2S1.2al+2alq+alq2=2al(alHO)/.q=-2或q=0(舍去)即q的值为-2。例5、已知函数f(x)=axax+a(a>0且aHO),求f(1100)+f(2100)+…+f(99100)的值。分析：直接代入计算较为复杂，可寻求f(X)与f(1-X)的关系.解析:f(x)+f(l-x)=axax+a+ax+1ax~l+a=axax+a+aa+axa=axax+a+aa+ax=a+axax
