例谈化归转化思想在解题中的运用.pdf

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1、<数学之友>2014年第l6期例谈化归转化思想在解题中的运用解索何晓敏(江苏省无锡市青山高级中学，214000)数学家c．A．雅洁卡娅说：“解题就意味着把所(2)设P(x。，y0)，要解的问题转化为已经解过的问题．”化归转化思1z1：)，一Yo=(一0)，z2：)，一Yo=一寺(一0)，想就是将不易解决(或陌生)的问题转化为容易解决(或熟悉)的问题来解决的解题策略和方法．其思因两圆半径相等，维过程可表示如下：所以AB=cD铮c1到zl的距离等于c2到z2的距离．未纂解篓决裔的蒿问题HII问题-‘已可知解能的解问的题或2Zl：-y+Yo—kx0=0，f2：+一kyo一一．所以

2、一3k一1+Yo—kxoI14+5k—kyo-a70解答——1解答1——_{解答2瓣化归转化思想具体地讲，就是化生为熟，化难为易，化繁为简，化抽象为直观，化正为反等．这里的转化必须是等价的转化，即不改变命题的本质属性．化归转化思想作为一种重要的数学思想方法，倍受高考命题者的青睐，成为高考的热点．在解题中，只有灵活进行化归转化，方可出奇制胜，事半功倍．下面通过具体的问题来探讨如何运用化归转化思想出奇制胜，解答难题．对任意实数恒成立{二二兰’或例1在平面直角坐标系中，已知圆c：(+3)+(Y一1)=4和圆C：(一4)+(Y一5)=4．xo-Yo+8=0’(1)若直线z过点A(4

3、，0)，且被圆c截得的弦⋯长为2，求直线z的方程；睫或’(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线z，和z：，它们分别与圆c。和圆相交，且直线z被圆C。截得的弦长与直线f2(寻，一号)，(一寻，孚)．被圆c2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．分析：第(1)问运用点到直线的距离公式即可．第(2)问注意到两圆半径相等，将弦长相等转化为弦心距相等．解：(1)设Z：y=k(x-4)，圆心到z的距离d=√2一()=l，又d为点(一3，1)到kx—Y一4k=0的距离，．．·．·———一：一1■—8un+T14k：一0~／+l1=0或k=一_I．例2已知

4、函数()=3Ix-pll，厂2()=2··74·<数学之友>2014年第16期3呻，(∈R，P。，P：为常数)，函数)定义为：对当Pl<

5、①易知，分析：对于第(1)问，可转化为分段函数的最=值，或根据绝对值不等式的性质求解；对于第(2)问：可考虑数形转化，结合函数图象求解．综上可知，在区间解：(1)=()等价于()<-A()对所[口，6]上，()=有实数成立，’(图这又等价于3。≤2·3—P2。．()，0<≤6．”’即31x-p-卜一p2’≤3噼=2对巨畿哟成立．()2)．故由函数()及由于l一PlI—Ix—P2I≤l(一P1)一(一p2)l()的单调性可知，=Ipl-p2I(ER)的最大值为Ip一P2I，)在区间[a，b]上的图2故(，lc)等价于3Ipl-p21≤2．即Ipl—P2Ilog32．单调增区间

6、的长度之和为(一p。)+(6一P)．故)=()对所有实数成立的充要条件由于a)=b)，即3～=2·3，是Ipl—p2Ilog32．得Pl+p2=a+b+log32．②(2)分两种情形讨论：故由①，②，得(i)当lp一p2llog。2时，(％一P1)+(6一p2)=6一l+p2一log32)=D．由(1)，知)=()(∈[口，b])．综合(i)(ii)可知)在区间[口，b]上的单则由厂(口)=6)及口

7、转化，[口，b]上的单调增区间数形结合，将陌生、复杂的问题转化为较熟悉的问题．数形结合、以形助数是实现转化的常用策略．的长度为b一：厶例3已知各项均为正数的数列{口}满足：口。=3，且互2a(图1)．=．_+1-~n=口口+，∈N‘．(2)lP1一p2l>(1)求数列{口}的通项公式．l0g32时，不妨设p1log32，于是ttIt．g2当≤pl时，有()=3n<3以<(戈)，专，求s+，并确定最小整数n，使．s+为整数Ⅱn从而)=()；分析：对于