化归思想在解题中的应用

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1、化归思想在解题中的应用数学的基本内容是从研究简单的代数式、简单的方程、简单的图形开始的。对于一个新的数学问题，通过细心观察问题的特征，并与熟悉的旧知识进行联想和比较，将其转化成简单的或能够解决的问题的过程就是化归。由此可见，解决数学问题的主要的思维过程就是化归思想的应用。　　一、减（消）元化归　　当表达式中所含字母较多，求解某些字母的值或范围时，往往依据题目中字母之间的关系尽量减少字母的个数，化归成较简单的表达式，便于问题的分析和解决。　　例1：当b＞0时，a、b、x、y满足　　求x的取值范围？　　分析：本题的已知特征是由a、b、y组成的方程组和由a、b、x组成的不

2、等式③组成。而求x的范围是化简不等式，因此需通过解方程组，尽量求出关于x的不等式中的字母的值或将其减少，又由于b＞0的范围已知，故考虑方程组中的a、y的用b来表示。　　简解：①－②得：④，将④代入①得：a=60b⑤，将④⑤代入③，，　　整理：20，∴。　　减元的目的是将多个字母之间的相互依赖关系转化为较少个字母之间的关系，有利于问题的分析。但在实际操作中，应该消去哪些字母要依据题目中的已知条件来确定。　　二、整体换元化归　　它是一种重要的化繁为简的解题策略，在解题时，充分协调题目中的部分与整体的关系，联想熟悉问题的本质特征，或将部分换成一个整体元素，使化归后得到的新

3、问题成为熟悉的或简单问题来解决。　　例2：已知：，求的值。　　分析：直接计算或化简所求代数式，再代入的值计算量较大，观察组成所求式的局部结构都是由+2及组成，可以换元　　则原式==，　　将，代入得：　　原式=。　　整体换元化归在化简、求代数式值、解方程等问题中都有广泛的应用，其关键在化为整体后得到的新问题应是熟悉或是能够解决的问题。　　三、变式化归　　事物之间是相互联系的，而且在一定的条件下可以相互转化。在解题时，如果把问题恰当地进行变化——转化成熟悉或简单的问题，必能化难为易。　　例3：已知，且，求的值。　　分析1：由已知分别求出a、b、c很困难，将所求式的分子b

4、+c看成一个整体，使已知改写成关于(b+c)的方程，展开整理得：，经计算△=0，故此式为完全平方式，即：，∴。　　分析2：分析1将已知改写成关于(b+c)的方程（等式），从而发现了(b+c)与a的关系。由数学思想与方法的和谐性及广泛性，本题的已知也必能整理成关于a的方程（a是所求分母），整理已知得：，以下解法同分析1。　　将已知、未知进行变式，目的是使双方产生明显的依赖关系，常见的变式有常量与变量的互变、因果关系的互变、数与形的互变等。　　四、化归成方程（或函数）　　将所研究的问题的数量关系运用数学语言化为方程或函数的模型。借助方程或函数的性质及解决问题的方法使原问

5、题获解。　　例4：当时，代数式的值大于零，则a的取值范围是_________。　　分析：直接解不等式很难奏效，将代数式的值看成一次函数y=的函数值，则此问题化归为：关于x的一次函数y=，当时，y＞0，求a的取值范围？借助函数图象如图1易知：当时，，∴…①，且时，，∴…②，由①②得：。　　将等式看成方程，或变换等式构造方程，将代数式的值看成函数值，是化生为熟解决问题的常用方法。另外，将函数的解析式看成方程，将方程看成函数解析式的特殊情形，能有效地联系方程的根与函数值的不等关系，从而产生不等式（如例4）。　　总之，化归思想在解题中不止以上这些，如分类化归、图形化归等，但

6、化归的关键就是设法使问题规范化、模式化，即成为我们已能够解决的问题。