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1、例谈辅助圆在中考解题中的应用及添加策略2010年第3期中学数学研究15例谈辅助圆在中考解题中的应用及添加策略江苏省溧水县第一初级中学(211200)吕小保在初中学段,学会并掌握一些常见的几何辅助线的添加方法,不仅是几何学习所必需的基本功,也是中考所必备的应试技能.而在我们的日常教学中,却普遍存在重"直"(直线,线段等)轻"曲"(圆,圆弧等)的辅助线添加现象.这种片面的做法,不仅使学生的"知识与技能"学习中存在眷"先天性"的缺陷,也使原本简单的问题复杂化,带来学生怕几何,中考成绩不理想等诸多问题.为此,本文特从各地的中考试题中遴选几例,对辅助圆的添加策略与方法作一系统介绍,供大家参考.1
2、依据圆的定义.添加辅助圆根据数学概念,构造基本图形解决问题是辅助线添加中最为常见而基本的方法.而圆有描述性定义和集合定义两种,我们可根据具体问题,从两种定义的不同特点人手进行添加.1.1依据描述性定义,构造圆圆的描述性定义:把线段绕它的一个端点在平面内旋转一周,另一个端点运动所形成的图形叫做圆.针对定义中的关键词"旋转",若一道问题中有"旋转"变换,我们就可以考虑构造以旋转中心为圆心的圆,将问题作适当的转化研究.例1(2005年宿迁市)某数学兴趣小组,利用树影测量树高.如图1,已测出树AB的影长AC为9米,并测出此时太阳光线与地面成30.夹角.(1)求出树高AB;(2)因水土流失,此时
3、树AB沿太阳光线方向倒下,在倾倒过程中,树影长度发生了变化,假设太阳光线与地面夹角保持不变,试求树影的最大长度.分析:本题第(1)问比较简单,第(2)问对多数学生而言,有一定的挑战性,主要表现在无法理解"树影的最大长度",无法用图形进行表示.其实,只需抓住题中"树倾倒",并由此说明树在做"旋转",从而对照圆的描述性定义,构造"以点A为圆心,AB长为半径的1/4圆"(如图2),建立"直线与圆的相切"模型,把问题转化为求光线与辅助圆相切时形成的影子长度AF.◆3i图1图21.2根据圆的集合定义,构造圆圆的集合定义:圆是到定点的距离等于定长的点的集合,其中定点为圆心,定长为半径.由此,对于动
4、点与定点的距离等于定长的问题,我们就可构造一个以定点为圆心,定长为半径的圆,将所要研究的动点统统锁定在辅助圆上,进而分析.例2(2007年义乌市)如图3,直线f上f,垂足为点0,A,B是直线f.上的两点,且OB=2,AB:.直线f绕点0按逆时针方向旋转,旋转角度为(0.<<180.).12/iB,/,}0,{l(1)当=60.时,在直图3线z上找点P,使得ABPA是以/B为顶角的等腰三角形,此时OP=.(2)当OL在什么范围内变化时,直线Z上存在点P,使得ABPA是以日为顶角的等腰三角形,请用不等式表示OL的取值范围.分析:解决本题的最大问题是答案不全,学生大多只能找到其
5、中一点P,而出现丢分.若学生掌握了圆的本质特征——到定点距离等于定长,根据本题是"以/_B为顶角的等腰△BPA三角形",应能构造以点B为圆心,BP为图4半径的圆,将符合条件的点P统统锁定在辅助圆B上(如图4所示),得oP=√3+1或√3—1.第(2)问,借助于第(1)问的辅助圆,建立直线与QB相交与相切的模型,求得/=45.或135.,得45.≤<90.或90.<≤135..点评:相对于圆的描述性定义的直观性,圆的16中学数学研究2010年第3期集合定义更为理性和抽象,突出包含了所有符合条件的点.因而利用圆的这一点集特性,可把所讨论的点进行数量和位置上的锁定——统统都在辅助
6、圆上,以保证所要讨论的点不漏不重.2从圆的有关性质入手,构造辅助圆圆的性质主要集中在圆周(或心)角,弧,弦(或直径)等对象之间的相互关系上,因此在解决有关角,线之问的问题时,我们可考虑添加辅助圆,把问题转化为曲线(圆)问题,应用圆的性质寻找解法.2.1从圆周角"动而不变"的特性人手定理"一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半",而一条弧所对的圆周角有无数多个,这些角具有顶点位置改变而其大小不变的特性,即"动而不变"性.根据这一特性,我们可以用来研究有关角度定值问题.例3(2006年淄博市)如图5,是线段AC的中点,过点c的直线f与AC成60.的角,在直线f上取一点P,使得/APB=3
7、0.,则满足条件的点P的个数是().A.1个;B.2个;C.3个;D.无数个.分析:对于本题中满足条件的点P有两个,可如何证明"有且只有"两个则是解答本题的难点和关键.构造以AB为弦,/APB为圆周角的辅助圆,就可一箭双雕,轻松证明.如图6,以等边AOAB的顶点0为圆心,AB长为半径作o0,当圆心0在线段AB的上方时,直线z与o0有两个公共点(理由略);当圆心0在线段AB的下方时,直线f与o0相离,没有符合条件的点P.因此,符合条件的点P有目.
