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《图形的旋转变换在中考数学试题中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、图形的旋转变换在解题中的应用岱山县衢山初中.夏良法[內容摘要]：平面图形的变换主要有平移,轴对轴,旋转,相似等几种,旋转变换是一种重要的几何变换,一些久思不得其解的试题,若能正确运用旋转变换,就能开拓学生解题思路,提高学习兴趣,使问题迎刃而解,[关键词]：旋转变换,解题应用前言随着新课程标准实施,其基本理念对近几年中考数学命题改革产生了重大影响，新课程标准下初中数学教材增添了图形变化问题,使数学更贴近生活，更有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识。因此几何变换这一重要数学思想,在近几年中考、竞赛试题中频频出现,这使得数学试题解题方法和技巧更加灵
2、活多变。旋转变换是几何变换中基本变换，由于旋转变换只改变图形的位置,而不改变其形状大小,这使得原来分散的已知条件和结论，通过旋转变换几何图形重新组合,产生新图形,进而揭示条件与结论之间内在的联系,找出解题的途径。下面结合例题谈谈旋转变换在平面几何解题中应用。一,有关旋转变换的知识1,旋转变换的定义：由一个图形改变为另一个图形,在改变过程中,原图形上的所有点都绕一个固定的点,按同一个方向,转动同一个角度,这样的图形改变叫做旋转变换,简称旋转,这个固定的点叫做旋转中心,这个转动的角度叫做旋转角。例如,如图﹙1﹚将△ABC绕点O按逆时方向旋转800得△A1B1C1,在
3、这里点O叫做旋转中心,旋转方向旋转是逆时针,旋转角是8002,旋转变换的性质：﹙1﹚旋转变换不改变图形的图状和大小,﹙2﹚对应点到旋转中心的距离都相等,﹙3﹚对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角3,补充知识,三角形旋转变换的定理1：若将三角形以一顶点为中心,旋转某一角度,则笫三边的新旧位置亦夹成此角度的交角下面先来证明这个定理如图2,设△ABC以点A为中心,逆时针旋转一个角度后处于△A1B1C1的位置,AD为△ABC的BC上的高,AD1为新位置△A1B1C1的B1C1上的高,如图BC与B1C1交于点P,求证,BC与B1C1交角为证明：,∵由AB旋转角后,到
4、达AB1的的,而今AD1BC,ADB1C1而AD也转到AD1,的的位置,∴∠DAD1,＝,在四边形DAD1,,P中∵∠ADP＋∠AD1,,PB＝1800,圆A,D,P,D1,,四点共圆,∴∠BPB＝∠DAD＝三角形旋转变换的定理2：若相似三角形中的一个三角形的两边分别垂直于另一个三角形的两边,则笫三边也互相垂直。如图3.在△ABC和△DEF中,DEAB,DFAC,则EFBC证明：将△DEF作平移变换,便D与A重合,设其位罝为△AE1F1,如右图∵DEAB,而DE∥AE1，∴AE1AB,同样AF1AC,∴对△ABC及△AE1F1来说,它们绕着A点逆时针旋转900,
5、∴由定理1可知,E1F1BC,∵E1F1∥EF,∴EFBC,二,怎样进行旋转变换我们在解题时,常常会遇到题设和结论中的某些元素,它们之间的关系,在原位罝上不易发现,使我们很难思考,尤其是初学的学生更感到束手无策,这时,若采取适当的变换﹙这里只谈一种旋转变换﹚,将它们从原来的位罝变到一种新的位罝,使元素间的关系显示得非常清楚,这样变换后,就有利于我们利用某一定理完成解题工作,特别是题设中有相等的线段,如等腰三角形,等边三角形,正方形,一条线段被中点分成两个相等部分,等等,这时,我们更可尝试运用,现举数例加以说明。1,以正三角形为基础的图形的旋转变换例1,p为正△A
6、BC内一点,PC＝3,PA＝4,PB＝5,求正三角形的边长，分析：本题中线段PA,PB,PC如能设法使之成为同一三角形的三边,就找到了解题途征考虑到△ABC是正三角形,为此把△BCP绕C点逆时针方向旋转60°得△ACP′解：以C为中心,将△BCP逆时针方向旋转60°,那么B落在A点,P落在P′点,连接PP′由旋转变换的性质可知,△BCP≌△ACP′,∴CP＝CP′,∠PCP′＝∠BCA＝60°,∴△PCP′是正三角形,PP′＝PC＝3,P′A＝PB＝5,PA＝4,因为32＋42＝52,即P′P2﹢PA2＝P′A2,所以△APP′是直角三角形∠APP′＝90°,作
7、AR垂直于PC于R,那么,∠APR＝180°―60°―90°＝30°,∴AR＝2,PR＝2,RC＝3＋2在直角三角形ARC中,AC＝＝这个例子可推广为,若,p为正△ABC内一点,PA＝l,PB＝m,PC＝n,求△ABC的边长,其结果为2,以正方形为基础的图形的旋转变换例2,已知：在正方形ABCD内有△AEF,∠EAF＝45°,E,F分别在BC,CD上任意滑动,﹙如图﹚,求证：﹙1﹚△AEF的高为定值,﹙2﹚EF＝BE＋FD证明：把△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°,在正方形外得△ADG,则AE＝AG,BE＝DG,∠FAG＝∠EAF＝45°,∴△AEF≌△AGF
8、,故AH＝AD﹙定长﹚,
