中考数学复习指导：图形旋转变换方法归纳类比

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1、图形旋转变换方法归纳类比在初屮数学阶段，图形的旋转变换既是学习的重点，又是考试的难点，学生对此类问题往往感到比较困惑.其实通过类比、归纳这类图形旋转变换问题，可以帮助我们突破思维瓶颈，使问题得以解决.一、常规问题彰显方法图形的旋转是一种基本的图形变换，旋转变换前后的图形全等是旋转变换的基本性质.把一个图形绕某一点顺时针（或逆时针）旋转一定的角度构成新的图形，利用旋转变换前后图形全等的性质，得到对应边相等，对应角相等，这是解决问题的有效策略之一例1如图1,P是正方形ABCD内的一点，将AABP绕点3顺时针方向旋转后能与'CBQ重合，若BP=3,求P0的长.分析利用图形旋转的性质得AABP仝ACB

2、Q,BP=BQ=3,ZPBQ=ZABC=90°.在RtAPBQ+,利用勾股定理即可求出PQ=3迈.例2如图2,点O是等边ABC内一点，ZAOB=\QZBOC=a,将ABOC绕点C顺时针旋转60°得ADC,连结OD.①试说明ACOD是等边三角形；②当0=150。时，试判断ZVIOD的形状，并说明理由；③探究:当。为多少度时，AAOD为等腰三角形.分析①因为BOC旋转得AADC,所以ABOC竺ADC，得CO=CD,ZBCO=ZACD.又・・•ZBCA=60。,・・・ZOCD=60°,/.ACOD是等边三角形;②•・•a=150。,・••ZADC=ZBOC=150°,又•・・△COD是等边

3、三角形，・・・ZCDO=60°,ZADO=ZADC一ZODC=150°-60°=90°,/.AAOD是直角三角形；③在AAOD中，ZAOD=360°-ZAOB-ZBOC—ZCOD=360°—110。一a—60。=190。一a,ZADO=ZADC一ZODC=a-60°,ZOAD=180°-ZAOD一ZADO=180。一(190。一q)-(a-60°)=50°.若AO=AD,则ZAOD=ZADO,190。一a=a-60°,a=125°；若OA=0D,则ZOAD=ZADO,50°=^-60°,^=110°;若DA=DO,则ZOAD=ZAOD,50°=190。一a,a二140。・点评通过图形的旋转变换

4、构造等腰直角三角形和等边三角形这两种特殊的三角形，为利用勾股定理及等边三角形的判定方法创造了条件，使问题很快获解.二、问题探究孕育思想在图形的旋转问题中，能否掌握和灵活运用旋转变换的性质，是解题的关键.例3如图3,点P是等边AABC内的一点,PB=2,PC=1,ZBPC=150°,求P4的D图3分析将APAB以点B为旋转中心顺时针旋转60°，得到△DCB.・・•APAB竺KDCB,:.PB=BD,PA=CD、ZPBD=ZABC=60°,・・・BDP是等边三角形，PD=PB=2,ZBPD=60°.又・・・ZBPC=150°,/.ZDPC=90°,在RtDPC中,PD=2,PC=1,利用勾股定

5、理得，CD二V5./.PA=^5.例4如图4,在ABC中，AB=ACfD为ABC内一点，且ADBC为等边三角形.①求证:直线AD垂直平分BC;②若以AB为一边，在AB的右侧画等边AABE;连结DE,试判断以D4、DE、DE三条线段为三边能否构成直角三角形，并说明理由・分析①•・・ADBC为等边三角形，DB=DC,利用全等三角形“边边边”的判定定理，可证ADCAADB,得ZBAD=ZCAD,延长AD交BC于点F,利用等腰三角形三线合一的性质知，直线AD垂直平分BC.②连结CE,利用全等三角形“边角边”的判定定理，可证AABD竺EBC，得AD=EC,所以，以DA、DB、DE三条线段的长为三

6、边构成的三角形，即3CE.由①得，DF垂直平分BC,・•・ZBDF=30°,ZA£>B=ZECB=150°.又•・・ZDCB=60°,・••ZDCE=90°,ADCE为直角三角形，即以D4、DB、DE三条线段为三边能构成直角三角形.点评以上两题都是利用图形旋转的方法，把有公共顶点的三条线段置入在同一个三角形屮、通过计算、验证得到所构造的三角形为直角三角形.这种通过图形的旋转变换，把“发散式”的三条线段I韦I成一个直角三角形，从而建立边角关系，是解决这类问题的有效途径Z一•通过此类问题的探究和训练，能拓展思维，成功找到解决问题的方法.三、归纳类比提练思想利用图形的旋转变换构造全等三角形，有利于整

7、合已知条件，把同一直线上的三条线段置入同一个三角形中，有利于找到解决问题的突破口.例5在正方形ABCD中，为对角线，点P从点A出发，沿射线运动，连结PD过点D作DE丄PD交直线BC于点E,若直线PE分别交直线BD、CD于点M、N,PM=3,EN=4,求PD的长.BCE图5分析如图5,当点P在ABk时，在AD上取一点G,使DG=DN,连结PG.由ZADC=ZPDE=90°,得ZGDP=ZNDE,利用