中考数学复习指导：学会运用旋转变换解题

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1、学会运用旋转变换解题旋转变换在初中儿何中占有非常重要的地位，它贯穿于三角形、四边形、圆等所有重要的几何问题之中.在近几年的各地中考试卷中，运用旋转变换求解的试题所占的比重不断上升，这些试题往往构思巧妙，令人耳目一新.本文试图从三个层次来帮助同学们学握旋转变换的特征和规律，从而轻松解决问题.一、按指令旋转例1如图1,将AABC绕点C逆时针旋转90°,作出旋转后的图形.解析如图2,AA^B*为所求.由本题我们可以归纳出图形旋转的特征：(1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；(2)对应点到旋转中心的距离相等；(3)对应角相等；(4)图形

2、的形状和大小都没有发生变化，即旋转前后的图形全等.深入研究一下，述可以得到：对应的直线也旋转了相同的角度，比如此题中的直线AB和直线AB-也互相垂直.二、会识别旋转通过例1的练习，对于旋转中心为图形的某个顶点的旋转，学生是很容易识别的，但对于那些旋转小心不是顶点的，还是有些困难的.例2如图3,△A，BC,是AABC绕点O按一定角度旋转后形成的图形，求作点O.AfB'解析如图4,因为对应点A,A，到旋转屮心0的距高相等，所以点O在AA，的中垂线上，同理点O也在CC的中垂线上.故连结AACO,作AACC的屮垂线，交点即为点O.通过例2的练习，学

3、生对于旋转的识图能力有了进一步的提升，解决例3和例4这类问题，就很容易了.例3如图5,菱形ABCD中，E、F分另U为BC、CD±的点，且ZB=ZEAF=60°,求证：AE=AF.解析如图6,连结AC,证明△ABE^AACF（ASA）即可.事实上，AACF可以看成是AABE绕点A逆时针旋转60°而成的，其实旋转提供了我们认识全等的一个新的角度,即从动态的角度来重新认识全等，观察图2,图4,我们可以发现旋转必然会产生有“公共顶点的等线段图形”（等腰三角形）.反之，有“公共顶点的等线段图形”（线段的中点,等腰三角形，菱形，正方形等等）屮必然隐藏着旋转

4、型全等，我们只需找到它们，问题便随Z解决.例4如图7,以AABC的边AB、AC为边分别作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EC.试判断AABC与AAEC面积之间的关系，并说明理由.图7图8解析如图8,不难看出AABC与AAEC的面积相等，可以考虑让它们的底边相同，因此作CM丄AB交AB于点M,作GN丄EA交EA的延长线于点N.只需证CN=CM,而这由△AMC^AANG即可得到.其实，AAMC与AANG也是一对旋转型的全等.三、会构造旋转事实上，让大部分同学感到困难的并不是去发现题目图形中隐藏着的旋转，而是何时需要去构造旋转型全等.上而的解题经

5、验告诉我们，当题目中出现了“公共顶点的等线段图形”，比如线段的中点，等腰三角形，菱形，正方形等等，那可能就需要我们去主动构造旋转型全等；特别是当题目的条件比较分散或是条件虽然是集屮的，但却无法解决所求问题时，通过构造旋转，可以使得题目的条件重新集屮，从而解决问题.例5如图9,在等腰ZABC中，AB=AC,D是厶ABC内一点，且ZADB=ZADC.求证：ZDBC=ZDCB.解析虽然题目中相等的元素集中在△ABD和△ACD中，但却无法证明ACD全等，所以需要把条件转移之后再利用.而AB=AC提供了将AABD旋转的依据，因此，将AABD绕点A逆时针

6、旋转到△ACD,连结DD.易证ZCDD=ZCDD,从而CD=CD‘，故CD=BD.即ZDBC=ZDCB.如图10,已知PA=V2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图10,当ZAPB=45°时，求PD的长；(2)当ZAPB变化，且其它条件不变吋，求PD的最大值，及相应ZAPB的大小.解析在AAPD中，虽然知道PA,AD的长度，但却没有角度，因此无法求解PD.又AB=AD,所以可以尝试将APAD绕点A顺时针旋转90°至IJAEAB,并连结EP,在AEPB中求出EB为2舲，可得PD也为2^5,在第(2)

7、问中，依此思路，易求得EB的最大值为6,当且仅当E,P,B三点共线时，即当ZAPB为135°,PD最大值为6.如果题目小出现了线段小点时，我们可以把某个三角形绕着小点旋转180。，构造中心对称型全等（同时形成“附属产物”平行四边形），使题目条件集中，从而解决问题.我们熟悉的“倍长屮线”便是其屮的一种特殊情形.例7如图11,点D是ZABC的边AC±一点，且AB=CD,ZBAC=60°,点E是BD的中点，若AE=4,求BC的长.解析题中的“AB=CD,ZBAC=60°”这两个条件比较分散，无法使用，考虑到点E是BD的中点，因此延长AE到F,连结F

8、B,FC,FD（如图12）.这样一来，AFDE^AABE,所以DF=AB=CD,又ZCDF=ZBAC=60°,故ZiDCF为等边三角形.所以CF=CD