中考数学复习指导：借助旋转来解题

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1、借助旋转来解题旋转是新课标中増加的内容，是解答几何问题的一种重要的变换方法。旋转变换是一种全等变换，它只改变图形的位置，使原来比较分散的条件相对集中，从而使图形的各种关系明朗化，从而达到化繁为简，化难为易的目的。一、求角度例1如图1,P是正三角形ABC内的一点，且PA二6,PB=8,PC=10,求ZAPB的度数。分析：由题中已知条件中的6、&10这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将PA、PB、PC集中到一个三角形中，可以将AAPC绕着A点逆时针旋转60。得到AAFB,图1从而可得ZAPB二ZAPF+ZBPF,然后设法求出Z

2、APF、ZBPF的度数即可。解：将ZAPC绕点A逆时针旋转60°后，得AAFB，连接FP（如图2）,则FB=PC=10,FA=PA=6,ZFAP=60°o/.AFAP是正三角形，FP二PA二6，在ZPBF中，PB2+PF2二8?+62二102二BF2,ZBPF二90°,ZAPB=ZAPF+ZFPB=60o+90o=150°o二、求线段间的关系例2操作：如图3,AABC是正三角形，ABDC是顶角ZBDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交A氏AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC

3、之间的关系，并加以证明。分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知ZDBA=ZDCA=90°,BD=CD,于是将△DBM绕D点顺时针旋转120。到ADCP的位置，则BM=CP,DM=DP,再证MN二NC+CP即可得证。解：••'△ABC为正三角形，・ZABC=ZACB=60o,XVZBDC=120°,DB=DC,・ZDBC=ZDCB=30°o・・・ZDBM=ZDCN=90°o于是将△DBM绕D点顺时针旋转120。到厶DCP位置，则BM二CP、DM二DP、ZMDP=120°,又T

4、ZMDN二60°,・ZPDN=60°,・ZPDN=ZMDN,・ZDN=DN,AAMDN^APDN,.*.MN=NP=NC+CP,ABM+NC=MNo三、求面积图3例3、如图4,AABC是等腰直角三角形，。为AB的中点,AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的丄，求阴影部分面积。4分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH解：将扇形BDH和ABDC绕D点顺时针和ABDC绕D点顺时针旋转180。，问题就迎刃而解了。旋转180。变成图5o.•.S阴二S半圆・SaaEF=丄TT

5、X12-丄x[2二丄(TT・1b222四、进行图形分割例4如图6,在四边形ABCD中，ZA=90°,ZABC与ZADC互补。(1)求上(3的度数;(2)若BC>CD且AB二AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。析解：本题设计新颖，巧妙把直I■1D观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，第（1）问可根据四边形内角和直接求解；第（2）问贝iJZABC+ZADC=180。，以及要把四边形分成两部分，使得这两部分能够图6图7拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由ZC=90°

6、，又AB=AD，因此猜想过点A作AE丄BC于E,又得一个直角。把AABE绕点A逆时针旋转90。，这时AB与AD重合，则被分成两部分拼成一个正方形。五、构造平行四边形例5如图8,已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：（用“能”或“不能”填空）□若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。图8图9图10分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变

7、换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360°,借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。解：能。如图9、图10,取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H,连接EF、GH,则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180°,3平移，拼成的四边形满足条件。