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《中考数学复习指导：钟表问题的解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、钟表问题的解题策略钟表间题是初中数学中的一类常见问题•通常我们将抽象的吋间问题转化为具体的平面几何问题，再根据角度间的等量关系利用方程求解;或者利用时针和分针的不同运动速度，转化为行程问题中的追及问题来解决.多种思路并不孤立而是相互结合灵活运用，其中设未知量解方程是基础.下而通过儿道典型例题，介绍钟表问题的主要题型和相应解题策略.一、任意时间时针与分针的夹角问题例13吋多少分吋，吋针和分针所成角是60°?情形1设3时x分时，时针和分针所成角是60°.如图1,三点整时，时针在分针的前而，两针垂直.兀分钟内，分针转(6x)°,时针从OC转到OD
2、,故ZAOB=(6x)0,ZCOD=(0.5x)°,由图1得，ZBOD=ZAOC+乙COD+ZAOB,即60=90+0.5兀一6兀，解得兀二聖.11所以在3时聖分时，时针和分针成60°夹角.11情形2如图2,时间继续，分针超过时针走在前面，此时仍有ZAOB=(6x)0,ZCOD=(0.5x)°,ZBOD=ZAOB-(ZCOD+ZAOC),故60=6x-0.5x-90,解得兀=型.11即在3时型分时，时针与分针的夹角再次成60°夹角.11图2进一步将该问题推广到一般情形:若a时b分时，时针转过的角度为30a+0.5b,分针转过的角度为6b,两
3、针问的夹角0=
4、6/?一(0.5b+30a)
5、,化简得0=
6、30a-5.5b.二、两针垂直、重合、成直线的问题除了两针的夹角问题，有关时针和分针重合、垂直、反向成一条直线的讨论也是教学的重点•如“6吋开始，过多少分钟吋针和分针重合、垂直或反向成一条直线？”对于这类问题，只需令上述公式中(1=6,&分别为0°、90。和180°，即可.而在研究过程屮，发现在Q与&一定时，b具有规律性.1.一般思路例2如果某个时刻钟面上的两针所成的角为^(0°<6^<90°),那么经过多长时间他们所成的角再次为0?情形1如图3,ZAOB=a=ZA'OB^经过
7、的时间为兀分钟，则分针从OA到04,旋转(6x)°,时针从OB到OB'旋转(0.5x)°,4a故有(6兀)。=20+(0.5兀)。，得兀二亓・4a即经过一分钟，两针夹角再次为Q・11情形2图4是在情形1的基础上，设经过y分钟两针夹角再次为则72-4^/360—6y=2a—0.5儿得尸.图4进一步可将结论推广到任意角：设在某一时刻、时针和分针所成的角是6r[0,180].⑴若时针在分针的前面，那么经过卡分，两针所成的角再次为72—(ii)若分针在时针的前面，则再过门分钟Z后,两针所成的角再次为a.可见，该结论不仅适用于垂直、重合等问题，还对任
8、意角求解类似问题有重要意义.2.转化为追及问题将钟面上的周期性圆周运动转变为学生熟悉的匀速直线问题，认为时针的速度为每分钟丄小格，分针的速度为每分钟1小格，时针和分针在钟盘上划过的圆弧为各白运动的路程,12再利用追及问题的思路解决.例3在4点和5点之间，时针和分针恰好成一条直线(不重合)？思路1如图5,在4：00时，时针在分针前，两者间隔2()小格.兀分钟后，分针追上且超过时针成一条直线，两针间隔3()小格(180°),而在X分钟里，时针行丄兀小格，分针12行兀小格.由此可得等量关系：分针走的小格=20小格+时针走的小格+30小格，即x=2
9、0+—x+30,Wx=—.1211思路2在追及问题屮，追及时间二路程差速度差.显然分针和时针的路程差是50小格，而速度差是每分钟¥小格，所以追及时问为型;若按角度来算同样也是型.121111进一步分析，当时针与分针重合时，时针与分针的路程差为零;当时针与分针垂直时，时针与分针相距15格或45格(有两种情况);当时针与分针成一条直线时，时针与分针相差30格.由路程差二追及时间X速度差，如果设d时开始兀分钟后，可得出时针与分针重合、垂直、成直线及它们的夹角关系公式:(。)重合:一x=5a;12(b)垂直：口无=5a+15,或耳兀=5g+45;1
10、212(c)成直线：-x=5a-}-30(0
