钟表问题的解题策略

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1、初中数学教与学2015生钟表问题的解题策略霍庭芸(西北师范大学教育学院，730070)钟表问题是初中数学中的一类常见问走在前面，此时仍有题．通常我们将抽象的时间问题转化为具体LAOB=(6x)。，COD=(0．5x)。，的平面几何问题，再根据角度间的等量关系LBOD=LAOB一(LCOD+LAOC)，利用方程求解；或者利用时针和分针的不同故6o=6一0．5一90，解得=．运动速度，转化为行程问题中的追及问题来解决．多种思路并不孤立而是相互结合灵活即在3时3百00分时，时针与分针的夹角再运用，其中设未知量解方程是基础．下面通

2、过次成60。夹角．几道典型例题，介绍钟表问题的主要题型和相应解题策略．一、任意时间时针与分针的夹角问题例13时多少分时，时针和分针所成角是60。?情形1设3时分时，时针和分针所成图2角是60。．如图1，三点整时，时针在分针的前面，两针垂直．分钟内，分针转(6)。，时针从进一步将该问题推广到一般情形：若a时OC转到OD，故b分时，时针转过的角度为30a+O．56，分针转／_AOB=(6x)。，COD=(0．5x)。，过的角度为66，两针间的夹角由图1得，0=I66一(0．56+30a)I，BOD=LAOC+COD+LAOB．

3、化简得0=l30a一5．5bI．即60：90+0．5一6，解得：6了O．二、两针垂直、重合、成直线的问题工■除了两针的夹角问题，有关时针和分针所以在3时6O分时，时针和分针成60。夹重合、垂直、反向成一条直线的讨论也是教学角．的重点．如“6时开始，过多少分钟时针和分针重合、垂直或反向成一条直线?”对于这类问题，只需令上述公式中n=6，0分别为0。、90。和180。，即可．而在研究过程中，发现在口与0一定时，b具有规律性．1．一般思路图1例2如果某个时刻钟面上的两针所成的角为a(O。

4、2，时间继续，分针超过时针他们所成的角再次为?·32·第7期初中数学教与学情形1如图3，LAOB=0c=LA0B．分钟小格，分针的速度为每分钟1小格，时设经过的时间为分钟，则分针从到，针和分针在钟盘上划过的圆弧为各自运动的旋转(6x)。，时针从0日到OB旋转(0．5)。，路程，再利用追及问题的思路解决．故有例3在4点和5点之间，时针和分针恰(6x)。=2+(0．5)。，好成一条直线(不重合)?得=4百or．思路1如图5，在4：00时，时针在分针即经过4百or分钟，两针夹角再次为前，两者间隔20小格．分钟后，分针追上且超过时

5、针成一条直线，两针间隔30小格(180。)，而在分钟里，时针行小格，分针行小格．由此可得等量关系：分针走的小格=20小格十时针走的小格+30小格，图3即=20++30，情形2图4是在情形1的基础上，设经得=．过Y分钟两针夹角再次为，则360—6y=2a一0．5y．得y=72-4or图5思路2在追及问题中，追及时间=图4进一步可将结论推广到任意角：譬差．显然分针和时针的路程差是50小格，设在某一时刻，时针和分针所成的角是而速度差是每分钟小格，所以追及时间为[O，180]．(i)若时针在分针的前面，那么经过箐6百00；若按角度

6、来算同样也是·进一步分析，当时针与分针重合时，时针分，两针所成的角再次为n；与分针的路程差为零；当时针与分针垂直时，(ii)若分针在时针的前面，则再过时针与分针相距15格或45格(有两种情况)；．丝分钟之后，两针所成的角再次为I1当时针与分针成一条直线时，时针与分针相可见，该结论不仅适用于垂直、重合等问差30格．由路程差=追及时间×速度差，如题，还对任意角求解类似问题有重要意义．果设口时开始分钟后，可得出时针与分针重2．转化为追及问题合、垂直、成直线及它们的夹角关系公式：11将钟面上的周期性圆周运动转变为学生(n)重合：：

7、5a；熟悉的匀速直线问题，认为时针的速度为每·33·初中数学教与学2015生。一题一议o一道线段最值问题硇思考潘敏儿黄鹏群(浙江省慈溪市范市初中，315312)题目如图1，在AABC中，B=45。，LBAC=30。，AB=6+2，AD是LBAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC的动点，则PC+PQ的最小值是——．-C图2根据这一想法，我们可以视C、Q是基本模型中的两定点，LBAC的平分线AD是基本模型中的定直线．由于Q是动点，所以以定点图1c作AD的对称点c(如图3)，连结cP，则PC分析观察这道题，从要求的结论自然=PC

8、．这样把求PC+PQ的最小值转化为求想到这是线段最值问题．解决这类问题的常PC+PQ的最小值．根据“两点这间线段最用方法是利用数学模型，求出线段的最值．其短”和“垂线段最短”，当Q、P运动到Q、P、c基本模型是：如图2，两定点A，B在直线z的同三点共线且qc上AC时，结论可求．注意到侧，在直线基本模型z