涂色问题的解题策略

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1、涂色问题解题指南文/夏振雄一、区域涂色问题解答区域涂色问题，常采用以下三种方法：一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类.以上三种方法有时也会结合起来使用.例1如图1,用6种不同的颜色给图中的4个格了涂色，每个格了涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种.（用数字作答）解析（解法一）根据相间区域使用颜色的种数分类.⑴当区域1与3同色时，区域1、3有种，区域2、4各有C；种，共有=150种；⑵当区域1与3不同色时，区域1、3有盃种，区域2有种，区域4与区域1相同或区域2

2、相同，于是共有A；C：（1+1）=240种.综上可知，不同的涂色方法共有150+240=390利i.（解法二）根据共用了多少种颜色分类讨论.（1）当用2种颜色时，有那种方法・（2）当用3种颜色时，先选颜色，有种；四个区域必有两个同色，区域1与区域3同色，或区域1与区域4同色，或区域2与区域4同色，每一类都何种方法，故用3种颜色时共有3A；种方法.由加法原理可知，不同的涂色方法共有+C；X3&=390种.例2如图2,—环形花坛分成人B,C,Q四块，现有4种不同的花供选种，耍求在每块里种1种花，口相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为A.96B.84C.60D.48解析根据相间

3、区域使用颜色的种数分类.当A、C同花时，有CCC=36种；当A、C不同花时，有=48种.故不同的种法共有36+48=84种.选B.例3如图3所示，一个地区分为5个行政区域，现给地乂二^图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供（〜盯选择，则不同的着色方法共有多少种？I3k解析据题意可知至少要用3种颜色，根据共用了多少种VI4颜色分类讨论.（1）当先用3种颜色时，区域2与区域4必须同色，区域3与区域5必须同色，故冇农种方法.⑵当用4种颜色时，若区域2与区域4同色，则区域3与区域5不同色，冇禹种方法；若区域3与区域5同色，则区域2与区域4不同色，有种方法，故用4

4、种颜色时共有2种方法.由加法原理可知，满足题意的着色方法共有&+2A：=24+2x24二72种.二、点的涂色问题解答点的涂色问题的常用方法冇：（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对顶点是否同色分类讨论；（3）空间问题平面化，将点的涂色问题转化为区域涂色问题求解.例4如图4,在正五边形ABCDE屮，若把顶点染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不同，则不同的染色方法共冇种.解析（1）当A与C同色或A与D

5、司色时，有3x2x2+3x2x2=24种；（2）当A与C、D都不同色时，冇崔X1X1=6种.故不同的染色方法共冇24+6=30种.三、线段涂色问题解答

6、线段涂色问题的主要方法有：（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对线段是否同色分类讨论.例5川红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形AI3CD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使札I邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析⑴使用四种颜色涂色，共有£种方法；⑵使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，共有C[CA~种方法；⑶使用两种颜色涂色时，则两组对边必须分别同色，共有种方法.故不同的涂色方法共有A：+CCA^+盃二84种.四、面的涂色问题例6如图5所示，己知四棱锥P-ABCD,从给定的4种不同颜色中选用若干种颜色涂在四棱锥的各个面上，要

7、求相邻不同色，有多少种涂法？解析这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题来求解.如图6所示，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面，根据共用多少种颜色进行分类：（1）若只用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，则有&种方法；（2）若用4种颜色，贝IJ1与3、2与4两组中只能有一组同色，此时有种方法.故满足题意的涂色方法数为&+C；=72.V2「【高考预测题】I151•如图7,—个地区分为5个行政区域，现给地图着色，I3/要求相邻区域不得使用同一•种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（用数字作答）”一^2.在如图8所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相

8、邻门1两个区域涂不同的颜色，冇四种颜色可选，则共冇种不IJ同的涂色方法.M3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分,如图9所示•现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种—•种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法冇种.（用数字作答）参考答案1.722.843.120