涂色问题的常见解法及策略

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1、涂色问题的常见解法及策略涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。现总结涂色问题的常见类型及求解方法如下.类型一:线形区域涂色【例题1】用5种不同颜色给图1中的四个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色方法有种。ABCD解法一：这是一类线形区域的涂色问题，我们对以对各个区域依次涂色：第一个区域A共有5种涂色方法：第二个区域B只要与第一个区域A不同色，贝共有4种涂色方法；第三个区域C只要与第二个区域B不同色，则共有

2、4种涂色方法；图1第四个区域D只要与第三个区域C不同色，则共有4种涂色方法；根据分步计数原理（乘法原理）依次对这四个区域涂色共有5X4X4X4=320还有其它方法吗？（如果没有学生想到，作适当提示）用5种颜色给4个区域涂色，最多可用儿种颜色,最少呢？因此可以对所用颜色的种数进行分类讨论。解法二：这里共有5种颜色可供选择，根据题意：我们最多选择彳种颜色，最少选择2种颜色•我们也可对所选择的颜色的种类进行分类讨论：第一类：用4种颜色进行涂色，共有种;第二类：用3种颜色进行涂色，则有且只有两个区域必须涂同种颜色，那么有

3、A与C同色,或者有A与D同色，或者有B与D同色，共有三种情况，其中每一种情况都有盃种；共有3&种;第三类：用2种颜色进行涂色，则必须满足有A与C同色且B与D同色，共有种.根据对涂色种数进行分类，对这四个区域涂色共有A；+3A；+A：=320种.两种方法进行比较，这里显然是利用笫一种方法简单，直接利用分步计数原理对各区域依次进行涂色.类型二:环形区域涂色【例题2】给图2中的四个矩形涂色，使得有公共边的矩形颜色不同，现有四种颜色供选择,这样的涂法种数有—.如果把四个矩形沿B、C剪开再翻折：ABCDABDC（先同例1进

4、行比较，它们都是四个矩形，有什么不同？）图2解法一：这里是A、B、C、D四个区域首尾相连的环形区域的涂色问题假如也利用分步计数原理（乘法原理）对这四个区域依次涂色可以吗？问题出在哪里？请读者思考，这吋第四个区域D不再有3种涂色方法了？是不是2种呢？（不是）要分A与C涂色是否相同.当A与C同色时，则D有3种涂色方法，则共有4X3X1X3=36种；当A与C不同色时，则D有2种涂色方法，则共有4X3X2X2=48种；总共有：36+48=84种涂色方法.总结：根据先对称区域是否涂同色进行分类，然后再依次涂色。解法二：最多

5、可川4种颜色，最少可川2种颜色去涂色。根据着色种数进行分类：（1）用4种颜色去涂色则有种.农=24（2）用3种颜色去涂色则有两类[1]A与C同色；若A与C同色，则只要在4种颜色中任意选择3种濒色去涂A、B、D这3个区域即可,共Al=24种；【2】B与D同色.若B与D同色，则只耍在4种颜色中任意选择3种颜色去涂A、B、C这3个区域即可,共=24种。（3）用2种颜色去涂色，则A与C同色并且B与D同色，那么只要在4种颜色中任意选择2种颜色去涂A、B这两个区域即可，共Al=12种；根据对涂色种数进行分类，对这四个区域涂色

6、共有：24+24+24+12=84种涂色方法.将例题1与例题2进行比较有何不同，例题1中A、B、C、D四个区域连成一条线，是线形区域的涂色问题，利用分步计数原理丸接对各区域依次涂色比较简」丫L,例题2中A、B、C、D首尾相连组成一个环，是环形区域的涂色问题，一般利用分类计数原理。常用的分类标准是（一）根据对称区域是否图相同颜色进行分类；（二）是根据着色吋所用颜色的种数进行分类。如果我们在例题2的基础上，中间再挖一块出来，那么如何来涂色.ABDCABEDC如果将此图形适当改变，则可转化为例题3【例题3】如图3—恻面

7、分成五个部分，有4种颜色的涂料，要求相邻部分涂不同的颜色,则涂法种数为（A）（2009年高考全国卷）图3先涂E,再涂其余四块可知共有A；(2A；+A：)=72种，分四色涂和三色涂。如果再把区域D一分为二，那乂该如何涂色.通过以上例子我们可以归纳如下：一.涂色问题主要利用排列、组合中的两个基本原理解决涂色问题.(1)线形区域涂色问题——分步计数原理。(2)环形区域涂色问题——分类计数原理。二.主要分类方法：(1)根据涂色所用颜色种数进行分类。(2)根据对称区域是否图相同颜色进行分类。现总结和反思如下：教师在进行教学

8、设计时，要充分考虑学生的真实感受，真正实现以学生为主体，激发学生的学习热情，然他们主动去探索，理解概念的本质。在上课之前，老师都会认真备课，找很多的例子，进行比较和说明，以期来加深学生对概念的理解，但是这种备课只是建立在老师对概念的理解之上，学生对于老师的例子是否能够很好理解并接受，还很难说。如果这时能够把这一环节述给学生，讣学生口己去探索，然后加以归纳总结，并与书本上的