抽象函数问题的解题策略

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1、抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求解抽象函数问题

2、的策略。（只须写出满一、利用特殊模型中学阶段，抽象函数对应具体模型有:抽象函数/（兀）具有的性质特殊函数模型f(x1+x2)=f(xl)f(x2)f(xl-x2)=f(xl)^f(x2)指数函数f(x)=^(O

3、意XCR,都有/71(71X=/XHU丿L4丿,则函数的解析式可以是足条件的f⑴的一个解析式即可）分析：看到已知条件中有关于龙的不等式，所以联想到三角函数，结合几兀）为偶函数，得满足条件的函数几兀）的解析式是f（x）=cos4^或/(x)=

4、sin2x

5、o例2、若函数/（x）和g（x）在R上有定义，且f(^-y)=f(^)g(y)-f(^)g(y)9f(-2)=f(i)^o9则g(i)g(i)+g(_i)=_。(用数字作答)。分析与解：v/(x-y)=/(x)g(y)-/(x)g(y)・•・联想到三角公式，可取/(x)=

6、sin%,则/(兀)是奇函数，于是有：sin(-2)=sin(-1-1)=sin(-l)cc?c(l)-cos(-l)sin(l)=sinlcos1+cos(-1)=sinlcosl+cos(-l)=-1,即g(l)+g(-l)=_l例3、设函数/(x)的定义域为R,对于任意实数m,n,总有/(n+m)=/(/??)/(/?)且x>0,时01(2)证明:/(兀)在R上单调第减.⑶设A=/{(x,y)

7、/(x2)/(/)>/(l)},B={(x,y)

8、/(ax-y+

9、2)=l,ae/?}„若4门3=0,确定。的范围.分析与解:由于/(n+m)=/(%)f(y)，所以联想到指数函数/(x)=d'(0vaH1),则题意十分简明，为理解和解决问题作了模型和方法上的铺垫.(1)在/S+加)=/(x)/(y)中，取加>0/=0,有/(加)=/(加)/(0)•・•x>0fi01(2)设x{

10、>0•••/(兀2)-/(西)=/(勺-西+西)-/(丙)=/(州)[/(兀2-西)-1]<0・•・/⑴在R上是增函数.⑶A={(x,y)1/(x2)/(y2)>/(1)}x2+/<1；B={(x,y)

11、/@_y+2)=1},有处_y+2=0vAAfi=0,无解，即直线ax-y+2=0和单位没有交点，只须PI+1n1n化3n-a/3⑴求证:当xw/?+时/-=-/(%);(2)若兀>1时，恒有/(x)<0,，求证

12、:/(%)必有反函数.⑶设.广⑴是/(%)的反函数，求证：厂⑴在其定义域内恒有广心+兀2)=广U)广心)分析与解：由于，所以联想带对数函数f(%)=lOg,兀(0VQH1)则问题就简单易于理解了.(1)令兀二y=l,得/(1)=0令)匸+得/(%)+/=0.•.当"/?时，有f-=-f(X)lx丿(2)设兀［,兀2W疋且K<兀2,则电〉1,故/(x2)-/(x1)=/(x2)+/—=/—<0XlXlJXl7.•./(X)在疋上单调递减，故/(X)必有反函数。(3)・・・兀],兀2,兀1+兀2在厂(X)的定义域内，・•.厂

13、(兀J,厂(兀2)j"d+兀2)丘疋故/■*[/-1(X,)/-*(X2)]=y[/-1(x,)]+/[f~l(x2)~]=xl+x2=f[f-1+x2)]说明借助特殊函数模型直接或间接为解题铺路，是处理抽象函数问题的常用二、利用函数的性质函数的特征是通过函数的性质(如奇偶性、单调性、周期